(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho số phức \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z – 2} \right| + 3\left| {z – \overline z + 4i} \right| \le 6\) và \(\left| {z – 1 – i} \right| \le \left| {z + 3 + i} \right|\). Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + 3y + 5\). Khi đó \(M + m\) bằng:
A. \(\frac{{17}}{5}\).
B. \(\frac{{33}}{5}\).
C. \( – \frac{{13}}{5}\).
D. \(\frac{{22}}{5}\).
Lời giải:
Chọn D
\( + )\left| {z + \overline z – 2} \right| + 3\left| {z – \overline z + 4i} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left| {2x – 2} \right| + 3\left| {2yi + 4i} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left| {x – 1} \right| + 3\left| {y + 2} \right| \le 3\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 2 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1,y \ge – 2\\x – 3y – 10 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1,y < – 2\\x – 3y – 4 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1,y \ge – 2\\x + 3y + 8 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1,y < – 2\end{array} \right.\)
\( + )\left| {z – 1 – i} \right| \le \left| {z + 3 + i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 1} \right)i} \right| \le \left| {\left( {x + 3} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \le \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow – 8x – 4y – 8 \le 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2 \ge 0\)
+) Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là ngũ giác \(ABCDE\)(như hình vẽ). Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P = 2x + 3y + 5\) đạt được tại hai đỉnh của ngũ giác \(ABCDE\)
+) Biểu thức \(P = 2x + 3y + 5\) đạt giá trị lớn nhất là \(M = {P_{\max }} = 7\) khi \(x = 4,y = – 2\)(tại \(C\)).
Biểu thức \(P = 2x + 3y + 5\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(m = {P_{\min }} = – \frac{{13}}{5}\) khi \(x = \frac{2}{5},y = – \frac{{14}}{5}\) (tại \(E\)).
Suy ra \(M + m = \frac{{22}}{5}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời