(Sở Bạc Liêu 2022) Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – m} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình đã cho có đúng \(2\) nghiệm phân biệt?

A. \(125\).

B. \(123\).

C. \(122\).

D. \(124\).

Lời giải:

Chọn B

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _5}m\end{array} \right.\).

Với \(m = 1\), điều kiện của phương trình là \(x > 0\) và phương trình trở thành

\(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – 1} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\log _3^2x – {\log _3}x – 1 = 0\\{5^x} – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = – \frac{1}{2}\\x = 0(l)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 & \left( {nha\”a n} \right)\\x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} & \left( {nha\”a n} \right)\end{array} \right.\).

Suy ra \(m = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.

Với \(m = 2\), điều kiện của phương trình là \(x \ge {\log _5}2\) và phương trình trở thành

\(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – 2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\log _3^2x – {\log _3}x – 1 = 0\\{5^x} – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = – \frac{1}{2}\\x = {\log _5}2(n)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 & \left( {nha\”a n} \right)\\x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} & \left( {nha\”a n} \right)\\x = {\log _5}2 & \left( {nha\”a n} \right)\end{array} \right.\).

Suy ra \(m = 2\) không thỏa yêu cầu bài toán.

Với \(m \ge 3\), điều kiện phương trình là \(x \ge {\log _5}m\), khi đó

\(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – m} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\log _3^2x – {\log _3}x – 1 = 0\\{5^x} – m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = – \frac{1}{2}\\{5^x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 & \left( {nha\”a n} \right)\\x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} & \left( {loa\”i i} \right)\\{5^x} = m\end{array} \right.\).

Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi \(3 > {\log _5}m \Leftrightarrow m < {5^3} = 125\).

Suy ra \(m \in \left\{ {3;4;5;…;124} \right\}\) nên có \(122\)giá trị của \(m\).

Vậy có tất cả \(123\) giá trị của \(m\).