📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$P = \frac{\sin 2x + \sin x}{1 + \cos 2x + \cos x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để đơn giản hóa hoặc rút gọn một biểu thức lượng giác chứa góc nhân đôi và góc đơn trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 11, phương pháp tối ưu là đưa tất cả các hàm số lượng giác về cùng một cung góc (ở đây là cung $x$):
- Công thức góc nhân đôi của sin: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
- Công thức góc nhân đôi của cos (khử hằng số 1): $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
- Kỹ thuật đặt nhân tử chung: Sau khi phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử, triệt tiêu nhân tử chung để thu được kết quả tối giản tương tự như phương pháp trong dạng bài Rút gọn biểu thức lượng giác phân thức.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Biến đổi biểu thức ở tử số:
Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, ta có:
$$\text{Tử số} = \sin 2x + \sin x = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$$
Bước 2: Biến đổi biểu thức ở mẫu số:
Sử dụng công thức hạ bậc / nhân đôi $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, ta có:
$$\text{Mẫu số} = (1 + \cos 2x) + \cos x = 2\cos^2 x + \cos x = \cos x(2\cos x + 1)$$
Bước 3: Rút gọn biểu thức $P$:
Thay tử số và mẫu số đã biến đổi vào biểu thức $P$:
$$P = \frac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x(2\cos x + 1)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
👉 Kết luận: Biểu thức rút gọn là $P = \tan x$. Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{1 – \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$ và $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Khi đó: $A = \frac{2\sin^2 x + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x} = \frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Đáp số: $A = \tan x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin 3x – \sin x}{\cos 3x + \cos x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
$\sin 3x – \sin x = 2\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2\cos 2x \sin x$.
$\cos 3x + \cos x = 2\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2\cos 2x \cos x$.
Do đó: $B = \frac{2\cos 2x \sin x}{2\cos 2x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Đáp số: $B = \tan x$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sin 4x}{\cos 2x \cdot (1 + \cos 2x)}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Khai triển $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x = 2(2\sin x \cos x)\cos 2x = 4\sin x \cos x \cos 2x$.
Mẫu số: $\cos 2x \cdot (1 + \cos 2x) = \cos 2x \cdot (2\cos^2 x)$.
Suy ra: $C = \frac{4\sin x \cos x \cos 2x}{2\cos^2 x \cos 2x} = \frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$.
Đáp số: $C = 2\tan x$.
Bài tập 4: Đơn giản biểu thức $D = \frac{\sin 2x – 2\sin x}{\sin 2x + 2\sin x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tử số: $\sin 2x – 2\sin x = 2\sin x \cos x – 2\sin x = 2\sin x(\cos x – 1) = -2\sin x (1 – \cos x)$.
Mẫu số: $\sin 2x + 2\sin x = 2\sin x \cos x + 2\sin x = 2\sin x(\cos x + 1)$.
Do đó: $D = \frac{2\sin x(\cos x – 1)}{2\sin x(\cos x + 1)} = \frac{\cos x – 1}{\cos x + 1} = \frac{-2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} = -\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)$.
Đáp số: $D = -\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)$ hoặc $D = \frac{\cos x – 1}{\cos x + 1}$.
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức $E = \frac{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}{\cos x + 2\cos^2 x – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tử số: $(1 + \cos 2x) + (\cos 3x + \cos x) = 2\cos^2 x + 2\cos 2x \cos x = 2\cos x(\cos x + \cos 2x)$.
Mẫu số: $\cos x + (2\cos^2 x – 1) = \cos x + \cos 2x$.
Suy ra: $E = \frac{2\cos x(\cos x + \cos 2x)}{\cos x + \cos 2x} = 2\cos x$.
Đáp số: $E = 2\cos x$.
Để lại phản hồi