📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết các biểu thức đều xác định có nghĩa):
$$P = \frac{1 + \sin 2x – \cos 2x}{1 + \sin 2x + \cos 2x}$$
Trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 11, các dạng toán về rút gọn và biến đổi đẳng thức lượng giác đóng vai trò nền tảng giúp học sinh làm chủ các hệ thức và công thức lượng giác nâng cao. Bạn cũng có thể tham khảo thêm kỹ thuật phân tích tổng thành tích trong bài toán Rút gọn biểu thức lượng giác $A = \frac{\sin 2x + \sin 4x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x}$ để nắm vững trọn bộ phương pháp.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Công thức nhân đôi:
$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
$$\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$$ - Công thức hạ bậc và chuyển vế cơ bản:
$$1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$$
$$1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$$ - Chiến lược giải quyết: Nhóm $(1 – \cos 2x)$ ở tử số và $(1 + \cos 2x)$ ở mẫu số, sau đó áp dụng công thức góc nhân đôi kết hợp đặt nhân tử chung để triệt tiêu biểu thức lượng giác phức tạp.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Nhóm các hạng tử thích hợp ở tử số và mẫu số
Ta viết lại biểu thức $P$ dưới dạng:
$$P = \frac{(1 – \cos 2x) + \sin 2x}{(1 + \cos 2x) + \sin 2x}$$
Bước 2: Áp dụng công thức nhân đôi
Sử dụng các hệ thức $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$, $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ và $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, ta có:
$$P = \frac{2\sin^2 x + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x}$$
Bước 3: Đặt nhân tử chung và rút gọn
Đặt nhân tử chung ở cả tử và mẫu:
$$P = \frac{2\sin x (\sin x + \cos x)}{2\cos x (\cos x + \sin x)}$$
Với điều kiện biểu thức xác định, chia cả tử và mẫu cho $2(\sin x + \cos x)$ ta được:
$$P = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
👉 Kết luận: Chọn đáp án B ($P = \tan x$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{1 + \cos 4x}{\sin 4x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $$A = \frac{2\cos^2 2x}{2\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$$
Đáp số: $A = \cot 2x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin 2x – \sin x}{1 – \cos x + \cos 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Mẫu số: $\cos 2x – \cos x + 1 = (2\cos^2 x – 1) – \cos x + 1 = 2\cos^2 x – \cos x = \cos x (2\cos x – 1)$.
Do đó: $$B = \frac{\sin x (2\cos x – 1)}{\cos x (2\cos x – 1)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
Đáp số: $B = \tan x$.
Bài tập 3: Đơn giản biểu thức $C = \frac{\cos 2x – \sin 4x – \cos 6x}{\sin 2x + \cos 4x – \sin 6x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Mẫu số: $(\sin 2x – \sin 6x) + \cos 4x = -2\cos 4x \sin 2x + \cos 4x = -\cos 4x (2\sin 2x – 1)$.
Suy ra: $$C = \frac{\sin 4x (2\sin 2x – 1)}{-\cos 4x (2\sin 2x – 1)} = -\frac{\sin 4x}{\cos 4x} = -\tan 4x$$
Đáp số: $C = -\tan 4x$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $D = \frac{1 + \sin 4x – \cos 4x}{1 + \sin 4x + \cos 4x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tử số: $(1 – \cos 4x) + \sin 4x = 2\sin^2 2x + 2\sin 2x \cos 2x = 2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x)$.
Mẫu số: $(1 + \cos 4x) + \sin 4x = 2\cos^2 2x + 2\sin 2x \cos 2x = 2\cos 2x(\cos 2x + \sin 2x)$.
Vậy $$D = \frac{2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x)}{2\cos 2x(\sin 2x + \cos 2x)} = \tan 2x$$
Đáp số: $D = \tan 2x$.
Bài tập 5: Tính giá trị biểu thức không phụ thuộc vào $x$: $E = \sin^4 x + \cos^4 x – \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Thay vào biểu thức $E$:
$$E = \left(1 – \frac{1}{2}\sin^2 2x\right) – \frac{1}{2}\sin^2 2x = 1 – \sin^2 2x = \cos^2 2x$$
Đáp số: $E = \cos^2 2x$.
Để lại phản hồi