Trong chương trình lượng giác bậc THPT theo chương trình Sách Giáo Khoa lớp 11 mới, các dạng toán về biến đổi và rút gọn biểu thức đóng vai trò vô cùng cốt lõi. Việc nắm vững cách nhóm các số hạng hợp lý và vận dụng linh hoạt công thức biến đổi tổng thành tích sẽ giúp các em giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, chính xác.
📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (giả sử biểu thức xác định với mọi giá trị $x$ xét):
$$A = \frac{\sin 2x + \sin 4x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để đơn giản hóa biểu thức có chứa tổng của 3 hàm số lượng giác cùng loại, ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Nhận xét góc: $2x + 6x = 2 \cdot (4x)$. Do đó, ta ghép cặp góc nhỏ nhất và lớn nhất $(\sin 2x + \sin 6x)$ và $(\cos 2x + \cos 6x)$ để xuất hiện góc chung $4x$.
- Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:$$\sin a + \sin b = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$$$$\cos a + \cos b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$$
- Bước 3: Đặt nhân tử chung ở cả tử số và mẫu số rồi rút gọn thừa số chung.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Biến đổi tử số $T$ của biểu thức:
$$T = (\sin 6x + \sin 2x) + \sin 4x$$$$T = 2\sin\left(\frac{6x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) + \sin 4x = 2\sin 4x \cos 2x + \sin 4x$$$$T = \sin 4x (2\cos 2x + 1)$$
Biến đổi mẫu số $M$ của biểu thức:
$$M = (\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x$$$$M = 2\cos\left(\frac{6x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) + \cos 4x = 2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x$$$$M = \cos 4x (2\cos 2x + 1)$$
Thay tử số và mẫu số vào biểu thức $A$:
$$A = \frac{T}{M} = \frac{\sin 4x (2\cos 2x + 1)}{\cos 4x (2\cos 2x + 1)} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = \tan 4x$$
👉 Kết luận: Biểu thức rút gọn là $A = \tan 4x$.
Kỹ năng thu gọn các cung lượng giác có liên hệ mật thiết với các dạng bài toán về góc và cung lượng giác. Dưới đây là 5 bài toán tự luyện tương tự có đáp án chi tiết để các em rèn luyện.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tử số: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 2\sin 3x\cos 2x + \sin 3x = \sin 3x(2\cos 2x + 1)$.
Mẫu số: $(\cos 5x + \cos x) + \cos 3x = 2\cos 3x\cos 2x + \cos 3x = \cos 3x(2\cos 2x + 1)$.
Suy ra $B = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $C = \frac{1 + \cos 2x + \sin 2x}{1 – \cos 2x + \sin 2x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Sử dụng công thức nhân đôi: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$ và $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Tử số: $2\cos^2 x + 2\sin x\cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)$.
Mẫu số: $2\sin^2 x + 2\sin x\cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)$.
Do đó $C = \frac{2\cos x(\sin x + \cos x)}{2\sin x(\sin x + \cos x)} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$.
Bài tập 3: Đơn giản hóa biểu thức $D = \cos^2 x + \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos^2\left(x – \frac{\pi}{3}\right)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$:
$$D = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \frac{1 + \cos(2x – \frac{2\pi}{3})}{2}$$
$$D = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[\cos 2x + 2\cos 2x\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right] = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[\cos 2x + 2\cos 2x\left(-\frac{1}{2}\right)\right] = \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $E = \frac{\sin 4x – \sin 2x}{1 – \cos 2x + \cos 4x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tử số: $\sin 4x – \sin 2x = 2\cos 3x \sin x$.
Mẫu số: $(1 + \cos 4x) – \cos 2x = 2\cos^2 2x – \cos 2x = \cos 2x(2\cos 2x – 1)$.
Hoặc biến đổi: $1 – \cos 2x + \cos 4x = 2\sin^2 x + (1 – 2\sin^2 2x)$ hay dùng $\cos 4x – \cos 2x + 1 = -2\sin 3x \sin x + 1$. Biến đổi theo cung $x$: $\frac{2\cos 3x \sin x}{2\cos 3x \cos x} = \tan x$.
Đáp án: $E = \tan x$.
Bài tập 5: Cho $\tan x = 2$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{3\sin x – 2\cos x}{5\sin^3 x + 4\cos^3 x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Chia cả tử và mẫu cho $\cos^3 x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$):
Tử số: $\frac{3\sin x – 2\cos x}{\cos^3 x} = (3\tan x – 2) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = (3\tan x – 2)(1 + \tan^2 x) = (3 \cdot 2 – 2)(1 + 2^2) = 4 \cdot 5 = 20$.
Mẫu số: $5\tan^3 x + 4 = 5 \cdot (2^3) + 4 = 40 + 4 = 44$.
Suy ra $P = \frac{20}{44} = \frac{5}{11}$.
Để lại phản hồi