Phương Pháp Giải Bài Toán Thực Tế Về Độ Dài Cung Lượng Giác – Toán 11 Chuyên Đề Tự Luận Kèm 5 Bài Tập Tuyển Chọn

1. Dạng Toán Thực Tế Về Độ Dài Cung Lượng Giác Và Phương Pháp Giải

Các bài toán thực tế liên quan đến độ dài cung tròn và góc lượng giác là một trong những nội dung trọng tâm thuộc chương Lượng giác trong chương trình Sách Giáo Khoa lớp 11 mới. Dạng bài này thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra định kỳ, đề thi đánh giá năng lực và là nền tảng quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy mô hình hóa toán học trước khi tiếp cận các bài toán vận dụng cao ở Sách Giáo Khoa lớp 12.

Lý thuyết và công thức trọng tâm cần nhớ

• Đổi đơn vị đo góc: Đổi từ số đo độ ($a^\circ$) sang radian ($\alpha$ rad) và ngược lại:$$\alpha = a^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \quad \text{hay} \quad a^\circ = \alpha \cdot \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ$$
• Độ dài cung tròn: Cung tròn có số đo $\alpha$ (rad) trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài là:$$l = R \cdot \alpha$$(Lưu ý: Bắt buộc số đo góc $\alpha$ phải ở đơn vị radian).
• Chuyển động tròn đều và bài toán thực tế:
  • Khi một bánh xe bán kính $R$ quay được một góc $\alpha$ (rad) thì quãng đường vật chuyển động tịnh tiến hoặc điểm trên vành quét được là $s = l = R \cdot \alpha$.
  • Số vòng quay $N$ liên hệ với góc quay $\alpha$: $\alpha = N \cdot 2\pi$ (rad). Khi đó quãng đường đi được sau $N$ vòng quay là $s = N \cdot 2\pi R = N \cdot C$ (với $C = 2\pi R$ là chu vi đường tròn).
  • Vận tốc dài $v$ và vận tốc góc $\omega$: $v = \omega \cdot R$ (với $\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$).
  • Chuyển động của kim đồng hồ: Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng ($2\pi$ rad, tương đương vận tốc $\omega_p = 2\pi\text{ rad/h} = \frac{\pi}{30}\text{ rad/phút}$), kim giờ quay được $\frac{1}{12}$ vòng ($\frac{\pi}{6}$ rad, tương đương vận tốc $\omega_h = \frac{\pi}{6}\text{ rad/h} = \frac{\pi}{360}\text{ rad/phút}$).

Phương pháp giải bài toán thực tế từng bước

• Bước 1: Xác định rõ bán kính $R$ và các đại lượng hình học của bài toán (chú ý đồng nhất đơn vị đo chiều dài như mét, centimet…).
• Bước 2: Tính hoặc quy đổi góc quay $\alpha$ sang đơn vị radian.
• Bước 3: Áp dụng công thức $l = R\alpha$ hoặc $s = v \cdot t = \omega R t$ để tính toán yêu cầu đề bài.
• Bước 4: Kết luận và kiểm tra tính hợp lý của kết quả theo thực tế.

2. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Mẫu

Để củng cố phương pháp, chúng ta cùng nghiên cứu bài toán mẫu sau từ chuyên đề ứng dụng lượng giác thực tế:

Bài toán mẫu: Một bánh xe đạp có đường kính $680\text{ mm}$. Người đi xe đạp di chuyển một quãng đường dài $150\text{ m}$. Hỏi trong suốt quãng đường đó, bánh xe đã quay được bao nhiêu radian và bao nhiêu vòng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lấy $\pi \approx 3{,}1416$.

3. Tuyển Chọn 5 Bài Toán Tương Tự Và Lời Giải Chi Tiết

Bài 1

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất $600\text{ km}$. Biết bán kính Trái Đất xấp xỉ $6400\text{ km}$. Tính quãng đường mà vệ tinh di chuyển được khi nó quét một góc ở tâm bằng $45^\circ$ (lấy $\pi \approx 3{,}1416$, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem lời giải chi tiết Bài 1

Bán kính quỹ đạo chuyển động tròn của vệ tinh xung quanh tâm Trái Đất là:$$R = R_{\text{TĐ}} + h = 6400 + 600 = 7000\text{ km}$$

Đổi số đo góc từ độ sang radian:$$\alpha = 45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$$

Quãng đường vệ tinh di chuyển được tương ứng với độ dài cung quét:$$l = R \cdot \alpha = 7000 \cdot \frac{\pi}{4} = 1750\pi \approx 1750 \cdot 3{,}1416 = 5497{,}8\text{ km}$$

Đáp số: $5497{,}8\text{ km}$.

Bài 2

Kim phút của một đồng hồ treo tường có chiều dài $12\text{ cm}$. Trong khoảng thời gian từ $8\text{ giờ } 15\text{ phút}$ đến $8\text{ giờ } 40\text{ phút}$, đầu mút của kim phút đã vạch nên một cung tròn có độ dài bằng bao nhiêu xentimét (lấy $\pi \approx 3{,}1416$, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

Xem lời giải chi tiết Bài 2

Khoảng thời gian trôi qua từ $8\text{ giờ } 15\text{ phút}$ đến $8\text{ giờ } 40\text{ phút}$ là:$$\Delta t = 40 – 15 = 25\text{ phút} = \frac{25}{60}\text{ giờ} = \frac{5}{12}\text{ giờ}$$

Trong 1 giờ (60 phút), kim phút quay được 1 vòng tương ứng góc $2\pi\text{ rad}$.

Do đó, trong 25 phút kim phút quét một góc:$$\alpha = \frac{5}{12} \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{6}\text{ rad}$$

Bán kính quay của đầu mút kim phút là $R = 12\text{ cm}$.

Độ dài cung tròn đầu mút kim phút vạch nên là:$$l = R \cdot \alpha = 12 \cdot \frac{5\pi}{6} = 10\pi \approx 10 \cdot 3{,}1416 = 31{,}42\text{ cm}$$

Đáp số: $31{,}42\text{ cm}$.

Bài 3

Hải đoàn tàu biển di chuyển dọc theo đường xích đạo của Trái Đất từ kinh tuyến $105^\circ\text{Đ}$ đến kinh tuyến $135^\circ\text{Đ}$. Giả sử Trái Đất là một hình cầu hoàn hảo có bán kính $R = 6371\text{ km}$. Hãy tính khoảng cách theo đường xích đạo giữa hai vị trí trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị km, lấy $\pi \approx 3{,}14159$).

Xem lời giải chi tiết Bài 3

Độ chênh lệch góc kinh tuyến giữa hai vị trí trên xích đạo là:$$a^\circ = 135^\circ – 105^\circ = 30^\circ$$

Đổi số đo góc sang radian:$$\alpha = 30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$$

Khoảng cách theo đường xích đạo chính là độ dài cung tròn trên xích đạo có bán kính $R = 6371\text{ km}$:$$l = R \cdot \alpha = 6371 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{6371 \cdot 3{,}14159}{6} \approx 3335{,}81\text{ km} \approx 3336\text{ km}$$

Đáp số: $3336\text{ km}$.

Bài 4

Một ròng rọc có bán kính $15\text{ cm}$ dùng để kéo một thùng hàng từ dưới đất lên cao. Để nâng thùng hàng lên độ cao $4{,}5\text{ m}$, ròng rọc cần phải quay một góc bằng bao nhiêu radian và quay bao nhiêu vòng tròn (lấy $\pi \approx 3{,}14$)?

Xem lời giải chi tiết Bài 4

Bán kính của ròng rọc là: $R = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m}$.

Chiều dài dây cuốn vào ròng rọc khi nâng hàng lên cao $4{,}5\text{ m}$ chính là độ dài cung tròn mà ròng rọc quay được: $l = 4{,}5\text{ m}$.

Góc quay của ròng rọc tính bằng radian:$$\alpha = \frac{l}{R} = \frac{4{,}5}{0{,}15} = 30\text{ rad}$$

Số vòng quay tương ứng của ròng rọc là:$$N = \frac{\alpha}{2\pi} = \frac{30}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{30}{6{,}28} \approx 4{,}78\text{ (vòng)}$$

Đáp số: $30\text{ rad}$ và xấp xỉ $4{,}78$ vòng.

Bài 5

Một cần gạt nước ô tô có lưỡi gạt dài $40\text{ cm}$, quay quanh một trục cố định và quét một góc $135^\circ$ trên kính chắn gió. Giả sử đầu mút trong của lưỡi gạt cách trục quay $10\text{ cm}$ (nghĩa là phần làm sạch kính chắn gió có chiều dài $30\text{ cm}$ từ bán kính $10\text{ cm}$ đến $40\text{ cm}$). Tính:

a) Quãng đường mà đầu mút xa nhất của cần gạt di chuyển sau một lần quét (tính bằng xentimét).

b) Diện tích phần mặt kính được làm sạch sau một lần quét (tính bằng $\text{cm}^2$). Lấy $\pi \approx 3{,}1416$.

Xem lời giải chi tiết Bài 5

Đổi góc quét sang radian:$$\alpha = 135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\text{ rad}$$

a) Quãng đường đầu mút xa nhất ($R_2 = 40\text{ cm}$) di chuyển:$$l_2 = R_2 \cdot \alpha = 40 \cdot \frac{3\pi}{4} = 30\pi \approx 30 \cdot 3{,}1416 = 94{,}25\text{ cm}$$

b) Diện tích phần kính được làm sạch:

Diện tích quạt tròn bán kính $R$ và góc ở tâm $\alpha$ (rad) được tính bởi: $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$.

Phần kính được làm sạch là hiệu diện tích của hai hình quạt tròn bán kính $R_2 = 40\text{ cm}$ và $R_1 = 10\text{ cm}$:$$S = \frac{1}{2} R_2^2 \alpha – \frac{1}{2} R_1^2 \alpha = \frac{1}{2}\alpha (R_2^2 – R_1^2)$$$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4} \cdot (40^2 – 10^2) = \frac{3\pi}{8} \cdot (1600 – 100) = \frac{3\pi}{8} \cdot 1500 = 562{,}5\pi \approx 562{,}5 \cdot 3{,}1416 = 1767{,}15\text{ cm}^2$$

Đáp số: a) $94{,}25\text{ cm}$; b) $1767{,}15\text{ cm}^2$.