Giải phương trình \(\frac{{6 – 10\sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) + \cos 2x}}{{\sin 2x}} = \sqrt 3 \).
Lời giải
Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Khi đó ta có phương trình tương đương:
\(6 + 10\sin \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + \cos 2x = \sqrt 3 \sin 2x\)\( \Leftrightarrow 6 + 10\cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right) + \cos 2x – \sqrt 3 \sin 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow 3 + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 3 + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \frac{\pi }{3}.\cos 2x – \sin \frac{\pi }{3}.\sin 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow 3 + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3 + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left[ {2\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow 3 + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) – 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 5\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = – \frac{1}{2}\,\,\,\,\\\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = – 2\,\,\,\,\,\end{array} \right.\)
- Với \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = – 2\) (loại)
- Với \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = – \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = – \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm \(x = – \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Trả lời