• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Giải phương trình sau: \(\sin x + \sin y + \sin \left( {x + y} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Đăng ngày: 23/10/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Phương trình lượng giác - Tự luận Tag với:On thi Luong Giac, PTLG HSG

adsense

Giải phương trình sau: \(\sin x + \sin y + \sin \left( {x + y} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải

             

Cách 1: Phương trình \(\sin x + \sin y + \sin \left( {x + y} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ \(\left( 1 \right)\) ta có

\(\frac{{27}}{4} = {\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {\left[ {\sin x + \sin y + \sin \left( {x + y} \right)} \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}y + {{\sin }^2}\left( {x + y} \right)} \right)\)

                     \( = 3\left[ {\frac{{1 – \cos 2x}}{2} + \frac{{1 – \cos 2y}}{2} + {{\sin }^2}\left( {x + y} \right)} \right]\)

 \( = 3\left\{ {1 – \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos 2y} \right] + \left[ {1 – {{\cos }^2}\left( {x + y} \right)} \right]} \right\}\)

 \( = 3\left[ {1 – \cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x – y} \right) + 1 – {{\cos }^2}\left( {x + y} \right)} \right]\)

\( = 3\left\{ {2 – \left[ {{{\cos }^2}\left( {x + y} \right) + 2.\frac{1}{2}\cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x – y} \right) + \frac{1}{4}{{\cos }^2}\left( {x – y} \right)} \right] + \frac{1}{4}{{\cos }^2}\left( {x – y} \right)} \right\}\)

\( = 3\left\{ {2 – {{\left[ {\cos \left( {x + y} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {x – y} \right)} \right]}^2} + \frac{1}{4}{{\cos }^2}\left( {x – y} \right)} \right\}\)

\( \le 3\left( {2 – 0 + \frac{1}{4}} \right) = \frac{{27}}{4}\,\,\,\left( 2 \right)\) \(\left( {Do\,\,\,{{\cos }^2}\left( {x – y} \right) \le 1;\,{{\left[ {\cos \left( {x + y} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {x – y} \right)} \right]}^2} \ge 0} \right)\).

Từ \(\left( 2 \right)\) suy ra:

adsense

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\left( {x – y} \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\cos \left( {x + y} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {x – y} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\\sin x = \sin y = \sin \left( {x + y} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.\).

Giải \(\left( 5 \right)\): \(\sin x = \sin y = \sin \left( {x + y} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin \left( {x + y} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = \frac{\pi }{3} + n2\pi \\y = \frac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\\\sin \left( {x + y} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\y = \frac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\left( {k,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\).

Thay \(\left( * \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\left[ {\left( {k – n} \right)2\pi } \right] = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3} + \left( {k + n} \right)2\pi } \right] + \frac{1}{2}\cos \left[ {\left( {k – n} \right)2\pi } \right] = 0\,\,\,\end{array} \right.\)(luôn đúng với \(\forall \,k,\,n \in \mathbb{Z}\)).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\y = \frac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\left( {k,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Cách 2: Phương trình \(\sin x + \sin y + \sin \left( {x + y} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\).

(Sử dụng bất đẳng thức: \(a.b \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2},\,\forall a,\,b \in \mathbb{R}\), đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)).

Ta có

\(\sin x + \sin y + \sin \left( {x + y} \right)\)\( = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sin y} \right) + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\sqrt 3 .\cos y.\sin x + \sqrt 3 .\cos x.\sin y} \right)\)

\( \le \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{4} + {{\sin }^2}x + \frac{3}{4} + {{\sin }^2}y} \right) + \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2}\left( {3{{\cos }^2}y + {{\sin }^2}x + 3{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}y} \right)\)

\( = \frac{{3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3\left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right) + 3}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{9}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = \sin y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin x = \sqrt 3 \cos y\\\sin y = \sqrt 3 \cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = \sin y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos x = \cos y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\y = \frac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\y = \frac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\left( {k,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Thuộc chủ đề:Phương trình lượng giác - Tự luận Tag với:On thi Luong Giac, PTLG HSG

Bài liên quan:

  1. Giải phương trình \(\frac{{6 – 10\sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) + \cos 2x}}{{\sin 2x}} = \sqrt 3 \).
  2. Toàn cảnh đề thi toán THPT Quốc gia từ 2017 đến 2019 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.