Giải Bài Toán Thực Tế Về Độ Dài Cung Lượng Giác – Toán 11 và Tuyển Tập 5 Bài Tập Tự Luận Có Lời Giải

Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

• Đơn vị đo góc: Đổi đơn vị giữa độ ($^ ext{o}$) và radian ($ ext{rad}$): $180^ ext{o} = oldsymbol{\pi} \text{ rad} \implies 1^ ext{o} = \frac{\pi}{180} \text{ rad},\quad 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\text{o}$.
• Công thức tính độ dài cung tròn: Trên đường tròn bán kính $R$, cung tròn có số đo $\alpha$ (radian) có độ dài $l$ tính theo công thức:$$l = R \cdot \alpha$$Nếu số đo cung cho theo đơn vị độ là $a^ ext{o}$, độ dài cung tròn là:$$l = \frac{\pi R a}{180}$$
• Quãng đường chuyển động quay: Khi một bánh xe bán kính $R$ quay được $n$ vòng (tương ứng góc quay $\Delta \alpha = 2\pi n$), quãng đường di chuyển được tính bằng:$$S = l = R \cdot \Delta \alpha = 2\pi R n$$

Phương pháp giải bài toán thực tế

1. Bước 1: Xác định bán kính đường tròn quỹ đạo $R$ và đơn vị đo tương ứng (cm, m, km…).
2. Bước 2: Chuyển đổi số đo góc hoặc số vòng quay về đơn vị radian.
3. Bước 3: Áp dụng công thức $l = R\alpha$ hoặc $S = 2\pi R n$ để tính độ dài cung hoặc quãng đường.
4. Bước 4: Làm tròn kết quả theo đúng yêu cầu đề bài và kết luận kèm đơn vị.

2. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Mẫu

Bài toán mẫu: Một đồng hồ treo tường có kim phút dài $12\text{ cm}$. Hỏi trong khoảng thời gian từ $8\text{ giờ } 15\text{ phút}$ đến $8\text{ giờ } 50\text{ phút}$, đầu mút kim phút đã quét được một cung tròn có độ dài xấp xỉ bằng bao nhiêu centimet (lấy $\pi \approx 3{,}1416$, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

Lời giải chi tiết:

Thời gian kim phút di chuyển từ $8\text{h}15$ đến $8\text{h}50$ là:$$\Delta t = 50 – 15 = 35 \text{ (phút)}$$

Mỗi vòng quay của kim phút ứng với $60$ phút và góc quét là $2\pi\text{ rad}$. Do đó, trong $35$ phút, góc quét của kim phút là:$$\alpha = \frac{35}{60} \cdot 2\pi = \frac{7}{12} \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{6}\text{ (rad)}$$

Độ dài cung tròn mà đầu mút kim phút vạch nên là:$$l = R \cdot \alpha = 12 \cdot \frac{7\pi}{6} = 14\pi \approx 14 \cdot 3{,}1416 = 43{,}9824 \approx 43{,}98\text{ cm}$$

Kết luận: Đầu mút kim phút đã vạch nên cung tròn có độ dài xấp xỉ $43{,}98\text{ cm}$.

3. Tuyển Chọn 5 Bài Toán Luyện Tập Tương Tự Có Lời Giải Chi Tiết

Dưới đây là 5 bài toán thực tế tự luận giúp học sinh củng cố kiến thức, tương tự cấu trúc trong tài liệu ôn luyện của Sách Giáo Khoa lớp 12 và Đề Đánh Giá Định Kỳ Môn Toán.

Bài 1

Một bánh xe đạp có đường kính $68\text{ cm}$ (bao gồm cả lốp). Hỏi khi người đi xe đạp đi được quãng đường $1\text{ km}$ thì bánh xe đã quay được khoảng bao nhiêu vòng (lấy $\pi \approx 3{,}14$)?

Xem lời giải chi tiết Bài 1

Lời giải:

Bán kính của bánh xe là: $R = \frac{68}{2} = 34\text{ cm} = 0{,}34\text{ m}$.

Quãng đường bánh xe đi được sau khi quay 1 vòng (chu vi bánh xe) là:$$C = 2\pi R = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}34 = 2{,}1352\text{ m}$$

Đổi quãng đường cần đi: $S = 1\text{ km} = 1000\text{ m}$.

Số vòng bánh xe quay được khi di chuyển $1\text{ km}$ là:$$n = \frac{S}{C} = \frac{1000}{2{,}1352} \approx 468{,}34\text{ (vòng)}$$

Đáp số: Bánh xe quay được khoảng $468$ vòng.

Bài 2

Hải đăng Kê Gà có đèn xoay quét một chùm tia sáng trên mặt biển theo góc mở rộng $150^\text{o}$. Biết tầm chiếu sáng xa nhất của hải đăng đạt $22\text{ hải lý}$ ($1\text{ hải lý} \approx 1{,}852\text{ km}$). Tính độ dài cung tròn mà rìa ngoài chùm sáng quét được trên mặt biển theo đơn vị kilômét (làm tròn đến hàng phần mười).

Xem lời giải chi tiết Bài 2

Lời giải:

Bán kính quét của hải đăng là:$$R = 22 \times 1{,}852 = 40{,}744\text{ km}$$

Góc quét đổi ra radian là:$$\alpha = 150^\text{o} = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}\text{ rad}$$

Độ dài cung tròn quét được trên mặt biển là:$$l = R \cdot \alpha = 40{,}744 \cdot \frac{5\pi}{6} \approx 40{,}744 \cdot \frac{5 \cdot 3{,}14159}{6} \approx 106{,}7\text{ km}$$

Đáp số: Xấp xỉ $106{,}7\text{ km}$.

Bài 3

Một vệ tinh nhân tạo bay theo quỹ đạo tròn quanh Trái Đất ở độ cao $600\text{ km}$ so với mặt đất. Biết bán kính Trái Đất xấp xỉ $6400\text{ km}$. Hỏi khi vệ tinh quét được một góc lượng giác $\alpha = \frac{3\pi}{4}\text{ rad}$ quanh tâm Trái Đất thì nó đã bay được quãng đường bằng bao nhiêu kilômét (lấy $\pi \approx 3{,}1416$)?

Xem lời giải chi tiết Bài 3

Lời giải:

Bán kính quỹ đạo tròn của vệ tinh (tính từ tâm Trái Đất) là:$$R = R_\text{TĐ} + h = 6400 + 600 = 7000\text{ km}$$

Quãng đường vệ tinh bay được tương ứng với góc ở tâm $\alpha = \frac{3\pi}{4}\text{ rad}$ là:$$l = R \cdot \alpha = 7000 \cdot \frac{3\pi}{4} = 5250\pi \approx 5250 \cdot 3{,}1416 = 16493{,}4\text{ km}$$

Đáp số: Quãng đường bay được là $16493{,}4\text{ km}$.

Bài 4

Một ròng rọc có đường kính $30\text{ cm}$. Để kéo một vật nặng lên cao $1{,}5\text{ m}$, ròng rọc phải quay một góc lượng giác bằng bao nhiêu radian và bao nhiêu độ (làm tròn kết quả góc độ đến phút)?

Xem lời giải chi tiết Bài 4

Lời giải:

Bán kính của ròng rọc là: $R = \frac{30}{2} = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m}$.

Khi ròng rọc quay góc $\alpha$ radian, độ dài dây kéo quấn quanh ròng rọc chính là chiều cao nâng vật:$$l = h = 1{,}5\text{ m}$$

Áp dụng công thức $l = R\alpha$, ta tính được góc quay theo radian:$$\alpha = \frac{l}{R} = \frac{1{,}5}{0{,}15} = 10\text{ (rad)}$$

Đổi góc quay sang đơn vị độ:$$\alpha^\text{o} = 10 \cdot \left(\frac{180}{\pi}\right)^\text{o} \approx 10 \cdot 57{,}2958^\text{o} \approx 572{,}958^\text{o} = 572^\text{o} 57’$$

Đáp số: $\alpha = 10\text{ rad} \approx 572^\text{o} 57’$.

Bài 5

Vành ngoài của một vô lăng lái tàu thủy có bán kính $45\text{ cm}$. Thủy thủ quay vô lăng một góc $240^\text{o}$ theo chiều kim đồng hồ để chuyển hướng tàu. Tính quãng đường dịch chuyển của một điểm nằm trên vành ngoài vô lăng theo centimet (lấy $\pi = 3{,}1416$, làm tròn đến 1 chữ số thập phân).

Xem lời giải chi tiết Bài 5

Lời giải:

Bán kính vô lăng: $R = 45\text{ cm}$.

Đổi góc quay $240^\text{o}$ sang radian:$$\alpha = 240 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{3}\text{ (rad)}$$

Độ dài cung di chuyển của điểm trên vành vô lăng là:$$l = R \cdot \alpha = 45 \cdot \frac{4\pi}{3} = 60\pi \approx 60 \cdot 3{,}1416 = 188{,}496 \approx 188{,}5\text{ cm}$$

Đáp số: Quãng đường dịch chuyển của điểm trên vành vô lăng là $188{,}5\text{ cm}$.