[Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) và một điểm \(M\left( {4;\, – 2;\,4} \right)\). Từ \(M\) kẻ được vô số các tiếp tuyến tới \(\left( S \right)\), biết tập hợp các tiếp điểm nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Hỏi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(A\left( {3;\,0;\,4} \right)\).

B. \(B\left( {0;\,3;\,0} \right)\).

C. \(C\left( {0;\,0;\,4} \right)\).

D. \(D\left( {4;\,0;\,0} \right)\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 2;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;\,0;\,4} \right)\) và \(IM = 5\).

Gọi \(H\) là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ \(M\) đến mặt cầu, khi đó \(MH = \sqrt {I{M^2} – {R^2}} = 4\)

Gọi \(O\) là hình chiếu của \(H\) trên \(MI\).

Ta có: \(HI.HM = HO.IM\)\( \Rightarrow OH = \frac{{HI.HM}}{{IM}} = \frac{{3.4}}{5} = \frac{{12}}{5}\).

\(IO = \sqrt {I{H^2} – O{H^2}} = \sqrt {{3^2} – {{\left( {\frac{{12}}{5}} \right)}^2}} = \frac{9}{5}\).

\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{MI}} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow OI = \frac{9}{{25}}MI \Rightarrow \overrightarrow {I{\rm{O}}} = \frac{9}{{25}}\overrightarrow {IM} \).

Giả sử \(O\left( {x;\,y;\,z} \right)\), ta có:

\(\left( {x – 1;\,y + 2;\,z} \right) = \frac{9}{{25}}\left( {3;\,0;\,4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = \frac{{27}}{{25}}\\y + 2 = 0\\z = \frac{{36}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{52}}{{25}}\\y = – 2\\z = \frac{{36}}{{25}}\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {\frac{{52}}{{25}};\, – 2;\,\frac{{36}}{{25}}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(O\left( {\frac{{52}}{{25}};\, – 2;\,\frac{{36}}{{25}}} \right)\), có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;\,0;\,4} \right)\) có phương trình: \(3\left( {x – \frac{{52}}{{25}}} \right) + 4\left( {z – \frac{{36}}{{25}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} + 4z – 12 = 0\).

Thay toạ độ các điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta thấy toạ độ điểm \(D\) thoả mãn. Chọn đáp án

D.