[Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 2z + 2 = 0\) và đường thẳng\(d\) có phương trình \(\frac{{x – 5}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}\). Các mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\;\left( \beta \right)\) chứa \(d\) tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\) tại các tiếp điểm các tiếp điểm \(D,\;E\). Khi đó độ dài đoạn thẳng \(DE\) bằng

A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{10}}\).

B. \(\frac{{8\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(2\sqrt 5 \).

D. \(\frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Lời giải:

+ Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {1; – 2;\,1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của O lên đường thẳng \(d\), khi đó \(OH \bot d\). Gọi \(H\left( {5 + 2t;\;1 – t;\;2 + t} \right)\)

\(\overrightarrow {OH} \left( {4 + 2t;\;3 – t;\;1 + t} \right)\); \({\overrightarrow u _d} = \left( {2;\; – 1;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1} \right)\)

\(\overrightarrow {OH} .{\kern 1pt} {\overrightarrow u _d} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) – 1\left( {3 – t} \right) + \left( {1 + t} \right)1 = 0\)\( \Leftrightarrow t = – 1\)\( \Rightarrow H\left( {3;2;1} \right),OH = 2\sqrt 5 \)

+ Mặt khác \(\left( \alpha \right),\;\left( \beta \right)\) tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\) tại các tiếp điểm các tiếp điểm \(D,\;E\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}HE \bot OE\\HD \bot OD\end{array} \right.\) Và \(OH \bot DE\) cắt nhau tại \(I\), nên \(DE = 2EI\)

+ Xét tam giác vuông \(OHE\) ta có \(HE = \sqrt {O{H^2} – {R^2}} = 4\) và \(EI = \frac{{EH.R}}{{\sqrt {E{H^2} + {R^2}} }} = \frac{{2.4}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

Vậy \(DE = 2EI = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\)