📌 Đề bài:
Mệnh đề nào sau đây đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = x\sin 2x + \cos x$?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính chẵn – lẻ của một hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo quy trình 2 bước:
- Bước 1 (Xét tập đối xứng): Tìm tập xác định $D$ của hàm số. Kiểm tra xem $D$ có phải là tập đối xứng qua gốc tọa độ $O$ hay không (nghĩa là $\forall x \ci D \Rightarrow -x \ci D$). Nếu điều kiện này vi phạm, hàm số không chẵn và không lẻ. Tương tự như khi tìm tập xác định của hàm số lượng giác, việc tìm đúng TXĐ là bước bắt buộc đầu tiên.
- Bước 2 (Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$):
- Nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \ci D$, thì $y = f(x)$ là hàm số chẵn (đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng).
- Nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \ci D$, thì $y = f(x)$ là hàm số lẻ (đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng).
- Nếu tồn tại ít nhất một giá trị $x_0 \ci D$ sao cho $f(-x_0) \neq f(x_0)$ và $f(-x_0) \neq -f(x_0)$ thì hàm số không chẵn, không lẻ.
- Công thức góc đối cần nhớ: $\cos(-u) = \cos u$, $\sin(-u) = -\sin u$, $\tan(-u) = -\tan u$, $\cot(-u) = -\cot u$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét hàm số $f(x) = x\sin 2x + \cos x$:
Bước 1: Tìm tập xác định
Biểu thức $x\sin 2x + \cos x$ xác định với mọi $x \ci \mathbb{R}$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
Rõ ràng, $\forall x \ci D \Rightarrow -x \ci D$ (tập xác định là một tập đối xứng).
Bước 2: Tính $f(-x)$
Với mọi $x \ci D$, ta có:
$$f(-x) = (-x)\sin(2(-x)) + \cos(-x)$$
Áp dụng các công thức cung đối nhau:
- $\sin(-2x) = -\sin 2x$
- $\cos(-x) = \cos x$
Thay vào biểu thức trên, ta được:
$$f(-x) = (-x) \cdot (-\sin 2x) + \cos x = x\sin 2x + \cos x$$
Nhận thấy rằng: $$f(-x) = f(x), \quad \forall x \ci D.$$
Do đó, hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Bên cạnh tính chẵn lẻ, người học cũng cần nắm vững cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác để xử lý trọn vẹn các dạng toán mở rộng.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = x^2 \cos 3x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
+ Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ nên $\forall x \ci D \Rightarrow -x \ci D$.
+ Với mọi $x \ci D$, ta có: $f(-x) = (-x)^2 \cos(-3x) = x^2 \cos 3x = f(x)$.
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số chẵn.
Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin 3x + x^3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
+ Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ (tập đối xứng).
+ Ta có: $f(-x) = \sin(-3x) + (-x)^3 = -\sin 3x – x^3 = -(\sin 3x + x^3) = -f(x)$.
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số lẻ.
Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \frac{\tan x}{x^2 + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
+ Hàm số xác định khi $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \ (k \ci \mathbb{Z})$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \ci \mathbb{Z}\right\}$.
Nếu $x \ci D$ thì $-x \ci D$.
+ $f(-x) = \frac{\tan(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-\tan x}{x^2 + 1} = -f(x)$.
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số lẻ.
Bài tập 4: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin 2x + \cos 3x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
+ TXĐ: $D = \mathbb{R}$ đối xứng.
+ Ta có: $f(-x) = \sin(-2x) + \cos(-3x) = -\sin 2x + \cos 3x$.
Chọn $x = \frac{\pi}{4}$:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{3\pi}{4} = 1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.
$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{3\pi}{4} = -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ta thấy $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ và $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) \neq -f\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Kết luận: Hàm số không chẵn và không lẻ.
Bài tập 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = |\sin x| + 2\cos^2 x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
+ TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
+ Với mọi $x \ci D$, ta có:
$f(-x) = |\sin(-x)| + 2[\cos(-x)]^2 = |-\sin x| + 2(\cos x)^2 = |\sin x| + 2\cos^2 x = f(x)$.
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số chẵn.
Để lại phản hồi