(Liên trường Hà Tĩnh 2022) Tính tổng tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để bất phương trình \({2^{x + 3}} + {2^{m – x}} < {2^{m + 3}} + 1\) có nhiều nhất 20 nghiệm nguyên

A. 153.

B. 171.

C. 190.

D. 210.

Lời giải:

Ta có BPT đã cho

\( \Leftrightarrow {2^{x + 3}} + \frac{{{2^m}}}{{{2^x}}} < {8.2^m} + 1 \Leftrightarrow {8.2^{2x}} + {2^m} < {8.2^{m + x}} + {2^x} \Leftrightarrow \left( {{2^x} – {2^m}} \right)\left( {{2^x} – {2^{ – 3}}} \right) < 0\)\(\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{2^x} = {2^m} \Leftrightarrow x = m\\{2^x} = {2^{ – 3}} \Leftrightarrow x = – 3\end{array}\)

Bảng xét dấu

Suy ra tập nghiệm của BPT là \(( – 3;m)\). Suy ra tập các nghiệm nguyên là \(\{ – 2; – 1;0;1; \ldots ;m – 1\} \) YCBT suy ra \(m – 1 \le 17 \Leftrightarrow m \le 18\). Vậy có 18 giá trị nguyên dương của \(m\) là \(m \in \{ 1,2,3, \ldots ,18\} \Rightarrow S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 18 = (1 + 18) \cdot \frac{{18}}{2} = 171\)