(Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\left[ {{{\log }_2}(x – 1) + x – 2} \right]\left( {{4^x} – {2^{x + 3}} + m – 1} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải:

Chọn B

\( + \) Phương trình đã cho \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}(x – 1) + x – 2 = 0\left( 1 \right)}\\{{4^x} – {2^{x + 3}} + m – 1 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

+ Xét hàm số \(f(x) = {\log _2}(x – 1) + x – 2 = 0\). Ta có \(f\prime (x) = \frac{1}{{(x – 1)\ln 2}} + 1 > 0,\forall x > 1\)

Lại có \(f(2) = 0\) suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm \(x = 2\)

+ Yêu cầu bài toán \(PT\) (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 2. Suy ra phương trình \({t^2} – 8t – 1 = – m\) phải có hai nghiệm phân biệt khác 4 thỏa mãn \(2 < {t_1} < {t_2}\)

+ Xét hàm số \(f(t) = {t^2} – 8t – 1\) có bảng biến thiên:

\( – 17 < – m < – 13 \Leftrightarrow 13 < m < 17\)