(Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(y = f(x) = {2022^x} – {2022^{ – x}} + x + \sin x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f(x + 3) + f\left( {{x^3} – 4x + m} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Lời giải:
Chọn B
Xét hàm số
\(\begin{array}{l}y = f(x) = {2022^x} – {2022^{ – x}} + x + \sin x\\ \Rightarrow f\prime (x) = {2022^x}\ln 2022 + {2022^{ – x}}\ln 2022 + 1 + \cos x > 0\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)
Suy ra \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Ta có \(f( – x) = {2022^{ – x}} – {2022^x} – x – \sin x = – \left( {{{2022}^x} – {{2022}^{ – x}} + x + \sin x} \right) = – f(x)\)
Xét phương trình
\({\rm{ }}f(x + 3) + f\left( {{x^3} – 4x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3} – 4x + m} \right) = – f(x + 3) = f( – x – 3).\quad \)\(\)
Vì\({\rm{ }}f(x)\)đồng biến nên
\(f\left( {{x^3} – 4x + m} \right) = f( – x – 3) \Leftrightarrow {x^3} – 4x + m = – x – 3 \Leftrightarrow {x^3} – 3x + 3 = – m{\rm{ (1) }}\)\(\)
YCBT phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt
Xét hàm số \(f(x) = {x^3} – 3x + 3\), ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT suy ra \(1 < – m < 5 \Leftrightarrow – 5 < m < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4\\m = – 3\\m = – 2\end{array} \right.\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\)
Trả lời