(Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a > \frac{1}{2},b > 1\). Khi biểu thức \(P = {\log _{2a}}b + {\log _{\sqrt b }}\left( {{a^4} – 4{a^2} + 16} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(a + b\) bằng

A. 4.

B. 18.

C. 14.

D. 20.

Lời giải:

Chọn B

Do \({a^4} – 4{a^2} + 16 \ge 4{a^2} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} – 4} \right)^2} \ge 0\) đúng \(\forall a > \frac{1}{2};\) Dấu bằng xảy ra khi \(a = 2\)

Suy ra

\(P \ge {\log _{2a}}b + 2{\log _b}{(2a)^2} = {\log _{2a}}b + 4{\log _b}2a = {\log _{2a}}b + \frac{4}{{{{\log }_{2a}}b}} \ge 2\sqrt {{{\log }_{2a}}b \cdot \frac{4}{{{{\log }_{2a}}b}}} = 4\)\(\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 2 \\lo{g_{2a}}b = \frac{4}{{ lo{g_{2a}}b}}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 2 \\lo{g_{2a}}b = 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 2\\b = {(2a)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 2\\b = 16\end{array}\end{array} \Rightarrow a + b = 18} \right.} \right.} \right.} \right.\)\(\)

Vậy, khi \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a + b = 18\)