Gọi \(S\) là tập hợp tất cả cácsố nguyên \(m\) để phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2} \right) – {\log _2}\left( {mx – 16} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt. Tính tổng các phần tử của \(S\)

Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả cácsố nguyên \(m\) để phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2} \right) – {\log _2}\left( {mx – 16} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt. Tính tổng các phần tử của \(S\)

A. \(18\)

B. \(3\)

C. \(15\)

D. \(17\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện \(x > 2\) và \(mx – 16 > 0\).

Khi đó \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2} \right) – {\log _2}\left( {mx – 16} \right) = 0\) tương đương với \({\log _2}{\left( {x – 2} \right)^2} = {\log _2}\left( {mx – 16} \right)\)

Hay \(f\left( x \right) = {x^2} – \left( {m + 4} \right)x + 20 = 0\,\,\,\left( 1 \right).\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} – 80 > 0\\f\left( 2 \right) = 16 – 2m > 0\\\frac{S}{2} = \frac{{m + 4}}{2} > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow – \,4 + \,4\sqrt 5 < m < 8.\) Suy ra \(m \in \left\{ {5,6,7} \right\}.\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng 18.

=======