Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 1 + i} \right| = 2\). Xét các số phức \({z_1},\,{z_2}\) thuộc \(S\) thỏa mãn \(\left| {{z_2} – {z_1}} \right| = 2\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left| {{z_1} – 2 + 2i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 2 + 2i} \right|^2}\) bằng
A. \(6\).
B. \(12\).
C. \(8\).
D. \(9\).
Lời giải
Gọi \(I\) là điểm biểu diễn số phức \(1 – i\).
Ta có \(\left| {z – 1 + i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \left| {z – \left( {1 – i} \right)} \right| = 2\) nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {1; – 1} \right)\), bán kính là 2.
Gọi \(A,B\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1},\,{z_2}\) thuộc \(S\). Do \(\left| {{z_2} – {z_1}} \right| = 2\sqrt 2 \) nên \(AB = 2\sqrt 2 \).
Gọi \(J\) là điểm biểu diễn của số phức \(2 – 2i\).
\(P = {\left| {{z_1} – 2 + 2i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 2 + 2i} \right|^2}\)\( = {\left| {{z_1} – \left( {2 – 2i} \right)} \right|^2} – {\left| {{z_2} – \left( {2 – 2i} \right)} \right|^2}\)\( = J{A^2} – J{B^2}\).
\(J{A^2} – J{B^2} = {\overrightarrow {JA} ^2} – {\overrightarrow {JB} ^2} = \left( {\overrightarrow {JA} – \overrightarrow {JB} } \right)\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} } \right) = 2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {JH} \) .
\(2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {JH} = 2.\overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {JI} + \overrightarrow {IH} } \right) = 2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {JI} + 2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH} = 2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {JI} \) .
\(2.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {JI} = 2BA.JI.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {JI} } \right) = 8.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {JI} } \right)\).
Giá trị \(P\) đạt lớn nhất \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {JI} } \right)\) đạt lớn nhất \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {JI} } \right) = 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(8\), lúc này \(\overrightarrow {BA} \)cùng hướng với \(\overrightarrow {JI} \) và \(AB = 2\sqrt 2 \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời