Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(w = 2z – 5 + i\) sao cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z – 3 + i} \right)\left( {\overline z – 3 – i} \right) = 36\). Xét các số phức \({w_1},\,{w_2}\, \in \,S\) thỏa mãn \(\left| {{w_1} – {w_2}} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{w_1} – 5i} \right|^2} – {\left| {{w_2} – 5i} \right|^2}\) bằng
A. \(20\).
B. \(4\sqrt {37} \).
C. \(7\sqrt {13} \).
D. \(5\sqrt {17} \).
Lời giải
Ta có \(w = 2z – 5 + i \Leftrightarrow 2z = w + 5 – i \Leftrightarrow 2\overline z = \overline w + 5 + i\)
Theo bài ra \(\left( {z – 3 + i} \right)\left( {\overline z – 3 – i} \right) = 36 \Leftrightarrow \left( {2z – 6 + 2i} \right)\left( {2\overline z – 6 – 2i} \right) = 144\)
\( \Leftrightarrow \left( {w – 1 + i} \right)\left( {\overline w – 1 – i} \right) = 144 \Leftrightarrow \left( {w – 1 + i} \right)\overline {\left( {w – 1 + i} \right)} = 144\)
\( \Leftrightarrow {\left| {w – 1 + i} \right|^2} = 144 \Leftrightarrow \left| {w – 1 + i} \right| = 12\)
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường có tròn tâm \(I\left( {1; – 1} \right)\) và bán kính \(R = 12\).
Vậy hai điểm \(M,\,N\) biểu diễn hai số phức \({w_1},\,{w_2}\,\) thuộc đường tròn \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 144\).
Ta có: \(IM = IN = 12;\,MN = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\).
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn số phức \(5i\). Ta có \(A\left( {0;5} \right)\) và \(IA = \sqrt {37} \).
\(P = {\left| {{w_1} – 5i} \right|^2} – {\left| {{w_2} – 5i} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {IM} – \overrightarrow {IA} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {IN} – \overrightarrow {IA} } \right)^2} = I{M^2} – I{N^2} – 2\overrightarrow {IA} \left( {\overrightarrow {IM} – \overrightarrow {IN} } \right) = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {MN} \)
\( = 2IA.MN.\cos \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {MN} } \right) = 4\sqrt {37} \cos \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {MN} } \right)\).
\({P_{\max }} = 4\sqrt {37} \Leftrightarrow \)\(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {MN} } \right) = 1\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời