Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp các số phức \(w = \left( {3 + 4i} \right)z + {\left( {1 + i} \right)^2}\) sao cho \(\left| {\overline z } \right| = 1\). Xét các số phức \({z_1},\,\,{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} – i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – i} \right|^2}\) bằng
A. \(4\).
B. \(5\).
C. \(2\).
D. \(2\sqrt 2 \).
Lời giải
Giả sử \(w = x + yi,\,{z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\) trong đó \(x,\,y,\,{x_1},\,{y_1},\,{x_2},\,{y_2} \in \mathbb{R}\).
Vì \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = 1\) nên ta có
\(w = \left( {3 + 4i} \right)z + {\left( {1 + i} \right)^2} \Leftrightarrow w – 2i = \left( {3 + 4i} \right)z \Leftrightarrow \left| {w – 2i} \right| = 5.\left| z \right| \Leftrightarrow \left| {w – 2i} \right| = 5\, \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 25\).
Vì \({z_1},\,\,{z_2} \in S\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 + {\left( {{y_1} – 2} \right)^2} = {x_2}^2 + {\left( {{y_2} – 2} \right)^2} = 25\\{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2} = 4\end{array} \right.\).
Khi đó
\(P = {\left| {{z_1} – i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – i} \right|^2} = {x_1}^2 + {\left( {{y_1} – 1} \right)^2} – {x_2}^2 + {\left( {{y_2} – 1} \right)^2} = 2.\left( {{y_1} – {y_2}} \right) \le 2.\left| {{y_1} – {y_2}} \right| = 2.\sqrt {4 – {{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} \le 4\)
Suy ra \(\max P = 4\), dấu bằng xảy ra khi \({x_1} = {x_2}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(4\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời