Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{max}}\left\{ {\sin x,\cos x} \right\}{\rm{d}}x} \) bằng

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{max}}\left\{ {\sin x,\cos x} \right\}{\rm{d}}x} \) bằng

A.\(0\).

B. \(1\).

C. \(\sqrt 2 \).

D. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có phương trình \(\sin x – \cos x = 0\) có một nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(x = \frac{\pi }{4}\).

Bảng xét dấu

Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\max \left\{ {\sin x,\cos x} \right\}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos x{\rm{d}}x}  + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin x{\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} – \left. {\left( {\cos x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = \sqrt 2 \).