Đề toán 2022 [2D4-2.3-3] Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z – \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)} \right| = {\left| {z – 2i} \right|^2}\)?
A. \(4\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(1\).
Lời giải
Gọi số phức \(z = a + bi\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}\).
Ta có \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z – \overline z } \right| \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {z – \overline z } \right| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| b \right|\) \(\left( 1 \right)\).
\(\left| {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)} \right| = {\left| {z – 2i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right|.\left| {\overline z + 2i} \right| = {\left| {z – 2i} \right|^2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {2 – b} \right)}^2}} = {a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} .\left( {\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} – \sqrt {{a^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.\) thế vào \(\left( 1 \right)\) ta thấy thỏa mãn và \(z = 2i\) .
\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 4a + 4 = – \,\,4b + 4 \Leftrightarrow a = – b\) thế vào \(\left( 1 \right)\) ta được \({a^2} = \left| a \right| \Leftrightarrow {a^4} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2}\left( {a – 1} \right)\left( {a + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow z = 0\\a = 1 \Rightarrow b = – 1 \Rightarrow z = 1 – i\\a = – \,\,1 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow z = – 1 + i\end{array} \right.\).
Vậy có \(4\) số phức thỏa mãn.
Chọn đáp án A.
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời