Đề: Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$

Đề bài: Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$

Lời giải

a) Ta có $y’=(\ln x)’=\frac{1}{x}, y”=-\frac{1}{x^2}, y”’=\frac{1.2}{x^3},  y^{(4)}=-\frac{1.2.3}{x^4}  $
bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:
$y^{(n)}=(-1)^{n+1.\frac{(n-1)!}{x^n} }, n\in \mathbb{Z} ^*$

b) Điều kiện $x1$
Với điều kiện trên thì $x^2+x-2=(x-1)(x+2)>0$, do đó:
$y=\ln(x^2+x-2)\Leftrightarrow y=\ln |(x-1)(x+2)|$
$\Leftrightarrow y=\ln |x-1|+\ln|x+2|$
Như thế ta có:
$y’=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}=(x-1)^{-1}+(x+2)^{-1}  $
$y”=-(x-1)^{-2}-(x+2)^{-2}$
$y”’=1.2(x-1)^{-3}+1.2(x+2)^{-3}$
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:
$y^{(n)}=(-1)^{n+1}(n-1)!\left[\frac{1}{(x-1)^n}+\frac{1}{(x+2)^n} {} \right], (n\in \mathbb{N} ^*  )$