Đề: Tính đạo hàm của các hàm số:$1.  F(x)=\int\limits_{2x}^{x^2}\frac{t^2dx}{\sqrt{t^2+1} }  $$2. G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:$1.  F(x)=\int\limits_{2x}^{x^2}\frac{t^2dx}{\sqrt{t^2+1} }  $$2. G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $

Lời giải

1. Ta biến đổi:
    $F(x)=\int\limits_{2x}^{0}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }+\int\limits_{0}^{x^2}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }=-\int\limits_{0}^{2x} \frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }+\int\limits_{0}^{x^2}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }     $
Từ đó suy ra:
    $F  ‘(x)=(-2x)’.\frac{(2x)^2}{\sqrt{(2x)^2+1} }+(x^2);.\frac{(x^2)^2}{\sqrt{(x^2)^2+1} } =\frac{-8x^2}{\sqrt{4x^2+1} }+\frac{2x^5}{\sqrt{x^4+1} }  $
2. Ta biến đổi :
   $G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{0}(\sin t^2+\cos2t)dt+\int\limits_{0}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt  $
         $=-\int\limits_{0}^{\sin^2x} (\sin t^2+\cos2t)dt+\int\limits_{0}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt$
Từ đó suy ra:
     $G  ‘(x)=-(\sin^2x) ‘ [\sin (\sin^2x)^2+\cos2(\sin^2x]+(\sin x^2) ‘[\sin (\sin x^2)^2+\cos2(\sin x^2)] $
              $=-2\cos x\sin x[\sin (\sin ^2x)^2+\cos 2(\sin ^2x)]+2x\cos x^2[\sin (\sin x^2)+\cos (\sin x^2)]$