Đề: Cho: $y = x^3 + (m – 2)x^2 – 2mx + m$.Chứng minh đồ thị luôn tiếp xúc với $1$ đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Đề bài: Cho: $y = x^3 + (m – 2)x^2 – 2mx + m$.Chứng minh đồ thị luôn tiếp xúc với $1$ đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Lời giải

Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua với $\forall m$ là $({x_o},{y_o})$, điểm này phải thỏa mãn phương trình với $\forall m$:
     ${y_o} = x_o^3 + (m – 2)x_o^2 – 2m{x_o} + m$        ($\forall m$)
$ \Leftrightarrow m{({x_o} – 1)^2} + x_o^3 – 2x_o^2 – {y_o} = 0$           ($\forall m$)
$ \Leftrightarrow {x_o} = 1,{y_o} = – 3.$
Vậy $({x_o},{y_o}) = (1, – 3)$

* Để chứng minh tại điểm cố định $(1, – 3)$ đồ thị luôn tiếp xúc với $1$ đường thẳng cố định ta chỉ cần phải chứng minh $y'(1) $ là hằng số với $\forall m$. Quả vậy:  $y’ = 3{x^2} + 2(m – 2)x – 2m \Rightarrow y'(1) = – 1$
Suy ra tiếp tuyến chung là $y = – (x – 1) – 3 = – x – 2$.