Đề bài: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm với mọi \(x\) thuộc miền xác định. Chứng minh:a) Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì \(f'(x)\) là hàm số lẻ.b) Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì \(f'(x)\) là hàm số chẵn.
Lời giải
a) Ta có: \(f'(-x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}\)(1)
Vì \(f(x)\) là hàm số chẵn nên \(f(-x+\Delta x)=f(x-\Delta x), f(-x)=f(x)\), do đó:
(1) \(\Leftrightarrow f'(-x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=-\mathop {\lim }\limits_{-\Delta x \to 0}\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=-f'(x)\)
Vậy \(f'(x)\) là hàm số lẻ.
b)
Ta có: \(f'(-x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}\)(1)
Vì \(f(x)\) là hàm số lẻ nên \(f(-x+\Delta x)=-f(x-\Delta x), f(-x)=-f(x)\), do đó:
(1) \(\Leftrightarrow f'(-x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{-f(x-\Delta x)+f(x)}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{-\Delta x \to 0}\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=f'(x)\)
Vậy \(f'(x)\) là hàm số chẵn.
Trả lời