Đề: Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$ có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt đường $y = 1$ tại ba điểm phân biệt $C(0; 1), D, E$ sao cho tiếp tuyến tại $D, E$ vuông góc với nhau.

Đề bài: Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$ có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt đường $y = 1$ tại ba điểm phân biệt $C(0; 1), D, E$ sao cho tiếp tuyến tại $D, E$ vuông góc với nhau.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là:
 $ {{\rm{x}}^{\rm{3}}} + {\rm{ 3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ mx }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ 1}} \Leftrightarrow {\rm{x}}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 3x }} + {\rm{ m}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
{x^2} + 3x + m = 0 & (2)
\end{array} \right. $
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
$\Leftrightarrow $ phương trình (2) có 2 nghiệm $x_D, x_E \neq 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = 9 – 4m > 0\\
{0^2} + 3 \times 0 + m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m \end{array} \right. $ (*)
Khi đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
              $ {{\rm{k}}_{\rm{D}}} = {\rm{y’}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{D}}}} \right) = 3x_D^2 + 6{x_D} + m =  – (3{x_D} + 2m); $
              $ {{\rm{k}}_{\rm{E}}} = {\rm{y}}’\left( {{{\rm{x}}_{\rm{E}}}} \right) = 3x_E^2 + 6{x_E} + m =  – (3{x_E} + 2m). $
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau khi và chỉ khi:  $ \begin{array}{l}
{{\rm{k}}_{\rm{D}}}{{\rm{k}}_{\rm{E}}} = {\rm{ }}-{\rm{1}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}_{\rm{D}}} + {\rm{ 2m}}} \right)\left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} + {\rm{ 2m}}} \right){\rm{ }} =  – {\rm{1}}\\\Leftrightarrow {\rm{9}}{{\rm{x}}_{\rm{D}}}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} + {\rm{6m}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{D}}} + {\rm{ }}{{\rm{x}}_{\rm{E}}}} \right){\rm{ }} + {\rm{ 4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{1}}\\
 \Leftrightarrow {\rm{9m }} + {\rm{ 6m}}\left( {-{\rm{3}}} \right){\rm{ }} + {\rm{ 4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{1}}
\end{array} $
$ {\rm{4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}-{\rm{ 9m }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{9 + \sqrt {65} }}{8}\\
m = \frac{{9 – \sqrt {65} }}{8}
\end{array} \right. $    (vì  $ {{\rm{x}}_{\rm{D}}} + {\rm{ }}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} = {\rm{ }}-{\rm{3}};{\rm{ }}{{\rm{x}}_{\rm{D}}}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} = {\rm{ m}} $  theo Vi-ét).  
So sánh với (*) ta có: m =  $ \frac{1}{8}\left( {9 \pm \sqrt {65} } \right)\,\, $