Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{mx^2 + 3mx + 2m + 1}{x + 2} (1)$1) Chứng minh rằng với mọi giá trị $m$, tiệm cận xiên (hay ngang) của đồ thị hàm số $(1)$ luôn đi qua một điểm cố định.2) Với mỗi giá trị $m$ cho trước, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A( – 1;0)$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $(1)$
Lời giải
$1)$ Trong trường hợp tổng quát ta biến đổi biểu thức của hàm số (1) dưới dạng (lấy tử chia cho mẫu)
$y = mx + m + \frac{1}{{x + 2}}$ $(2)$
Vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên (hay ngang, điều này xảy ra khi $m = 0$).
$y = m(x + 1)$
Với $x = – 1$, ta luôn có $y = 0$. Vậy tiệm cận xiên (hay ngang) luôn luôn đi qua điểm $A( – 1;{\rm{ 0)}}$.
$2)$ Gọi $k$ là hệ số góc của đường thẳng $d$ đi qua $A( – 1;{\rm{ 0)}}$. Đường thẳng $d$ có phương trình
$y = k(x + 1)$
Để $d$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $(1)$ (hay $(2)$), thì phương trình sau đây (sẽ quy về phương trình bậc hai) phải có nghiệm kép
$m(x + 1) + \frac{1}{{x + 2}} = k(x + 1){\rm{ }} \Leftrightarrow (m – k)(x + 1) + \frac{1}{{x + 2}} = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (m – k)(x + 1)(x + 2) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow (m – k){x^2} + 3(m – k)x + \left[ {2(m – k) + 1} \right] = 0{\rm{ (3)}}
\end{array}$
Để $(3)$ có nghiệm kép thì $(3)$ phải là những phương trình bậc $2$ với $\Delta = 0$, tức là
$\left\{ \begin{array}{l}
m – k \ne 0\\
\Delta = 9{(m – k)^2} – 4(m – k)\left[ {2(m – k) + 1} \right] = (m – k)(m – k – 4) = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow k = m – 4$
Vậy với mỗi giá trị $m$ cho trước, từ điểm $A( – 1;{\rm{ 0)}}$ ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $(1)$, có phương trình: $y = (m – 4)(x + 1)$
Trả lời