Đề bài: Cho đồ thị $ (C_m):y = x^3 + mx^2 – m – 1 $ . Viết phương trình tiếp tuyến của $(C_m)$ tại các điểm cố định mà $ (C_m) $ đi qua.
Lời giải
Gọi $ M({x_0};{y_0}) $ là điểm cố định mà $ \left( {{C_m}} \right) $ đi qua
$ \begin{array}{l}
\Rightarrow {y_0} = {x_0}^3 + m{x_0}^2 – m – 1,\forall m\\
\Rightarrow m({x_0}^2 – 1) + {x_0}^3 – {y_0} – 1 = 0,\forall m\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0}^2 – 1 = 0\\
{x_0}^3 – {y_0} – 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{y_0} = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
{y_0} = – 2
\end{array} \right.
\end{array} $
Do đó có 2 điểm cố định mà $ \left( {{C_m}} \right) $ đi qua là $ {M_1}\left( {1;0} \right) $ và $ {M_2}\left( { – 1; – 2} \right) $
Ta có: $ y’ = 3{x^2} + 2mx $
– Phuơng trình tiếp tuyến tại M1 là:
$ \Delta_1: y = y'(1)(x – 1) = (2m + 3)x – \left( {2m + 3} \right) $
– Phuơng trình tiếp tuyến tại M2 là: $ \Delta_2: y = y'( – 1)(x + 1) – 2 = ( – 2m + 3)x – \left( {2m – 1} \right) $
Trả lời