Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hình thoi $ABCD,AB=a,BD=\frac{2a\sqrt{3} }{3} ,O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD.$Trên đường thẳng vuông góc với $(P)$ tại $O$, ta lấy một điểm $S$ biết $SB=a$$a.$ Chứng minh tam giác $ASC$ là tam giác vuông$b.$ Chứng minh $(SBC)\bot (SDC)$

Lời giải

$a.$ Ta có : $AB=SB$ và $OD$ chung nên hai tam giác vuông $AOB$ và $SOB$ bằng nhau cho ta :
$OA=SO\Rightarrow  SO=\frac{1}{2} AC$
$\Rightarrow  \Delta ASC$ vuông tại đỉnh $S$
$b.$ Ta có : $\left.\begin{matrix} DB\bot AC\\ DB\bot SO\end{matrix}\right\} \Rightarrow  DB\bot (ASC)$
$\Rightarrow  DB\bot SC$
Qua $DB$ ta dựng được một mặt phẳng vuông góc với $SC$, cắt $SC$ tại$E$.Như vậy :
$ED\bot SC$ và $EB\bot SC$
Hay $\widehat{BED} $ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SDC)$
Từ $SB=a,OB=\frac{a\sqrt{3} }{3} $ ta tính ra $OS=\frac{a\sqrt{6} }{3} $ suy ra $OE=\frac{a\sqrt{3} }{3} $
Tam giác vuông $OEB$ cho ta :
$\tan\widehat{OED}=\frac{OB}{OE}=1\Rightarrow  \widehat{OEB}=45^0   $
do đó $\widehat{DEB}=90^0 $
Vậy $(SBC)\bot (SDC)$