Đề bài: Tìm $m$ để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm $\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=2(1-m)\\ (x+y)^2=4 \end{array} \right.$

Lời giải

Viết lại $(I) \Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)^2-2xy=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(A) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2            (1) \end{cases}}\\
{(B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2           (2) \end{cases}}
\end{array}} \right.$
Nhận xét:
+  Nếu $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ thì $(y_0;x_0), (-x_0;-y_0), (-y_0;-x_0)$ cũng là nghiệm của hệ ấy.
+  Từ các phương trình $(1),(2)$ suy ra hai hệ $(A)$ và $(B)$ không thể có cũng có cả hai nghiệm chung.
+  $S^2_{A.B}-4P_{A.B}=4-4(1-m)=4m \Rightarrow $ Hai hệ cùng có nghiệm khi $m \geq 0$, cùng vô nghiệm khi $m   Bởi thế nên hệ có đúng hai nghiệm khi va chỉ khi cả hai hệ $(A)$ và $(B)$ đều có nghiệm $x=y \Leftrightarrow S^2_{A.B}-4P_{A.B}=0 \Leftrightarrow m=0$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng