Đề bài: Tìm $m$ để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 7{x^2} – mx\\{y^3} = {x^2} + 7{y^2} – my\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất

Lời giải

 Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = {y^2} + 7{x^2} – mx   \left( 1 \right)\\
{y^3} = {x^2} + 7{y^2} – my    \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
$(1) – (2)$ \( \Rightarrow \left( {x – y} \right)\left[ {{x^2} + \left( {y – 6} \right)x + \left( {{y^2} – 6y + m} \right)} \right] = 0\)
Do đó hệ đã cho tương đương với tập hợp $2$ hệ:
    \(\left( A \right)\left\{ \begin{array}{l}
y = x\\
{x^3} = 8{x^2} – mx
\end{array} \right.{\rm{     }}\left( B \right)\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \left( {y – 6} \right)x + \left( {{y^2} – 6y + m} \right) = 0\\
{x^3} = {y^2} + 7{x^2} – mx
\end{array} \right.\)
Xét hệ $(A)$. Số nghiệm của hệ $(A)$ đúng bằng số nghiệm của phương trình \(\)    \(x\left( {{x^2} – 8x + m} \right) = 0\left( 3 \right)\)
Nếu \(\Delta ‘ = 16 – m \ge 0\) thì \({x^2} – 8x + m = 0\) có hai nghiệm với tổng  bằng $8$. Suy ra \({x^2} – 8x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm khác $0$. Suy ra $(3)$ có ít nhất $2$ nghiệm khác nhau. Suy ra hệ đã cho có \( \ge \) $2$ nghiệm
Nếu \(\Delta ‘ = 16 – m 16 \Rightarrow {x^2} – 8x + m = 0\) vô nghiệm. Suy ra $(3)$ có nghiệm duy nhất $x = 0$. Suy ra hệ $(A)$ có nghiệm duy nhất. Với $m > 16$, xét tiếp phương trình đầu của hệ $(B)$:
\({x^2} + \left( {y – 6} \right)x + \left( {{y^2} – 6y + m} \right) = 0\left( 4 \right)\) có \(\Delta  =  – 3{\left( {y – 2} \right)^2} – 4\left( {m – 12} \right) 16\)
\(\Rightarrow \left( B \right)\)vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có đúng một nghiệm $\Leftrightarrow m > 16$

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng