Câu hỏi:
Hỏi phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right).\)
- A. 1009 nghiệm
- B. 1008 nghiệm
- C. 2017 nghiệm
- D. 2018 nghiệm
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cot x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Ta có: \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\cot x} \right)}^2} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x}\end{array} = {4^t}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 – {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} – {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} – {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 = 0\)
Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} – {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 \Rightarrow f’\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} – {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4} > 0\) suy ra có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy \(f\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = – 1\) là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = – 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) (do đk (1))
Ta có: \(0
Do k nguyên nên có 1009 giá trị của k thỏa yêu cầu.
=====
Xem lại lý thuyết và ví dụ học toán 12
Trả lời