Câu 43: (MH Toan 2020) Cho phương trình \(\log _2^2\left( {2x} \right) – \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m – 2 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \([1;2]\) là

Câu 43: (MH Toan 2020) Cho phương trình \(\log _2^2\left( {2x} \right) – \left( {m + 2} \right){\log _2}x + m – 2 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \([1;2]\) là
A. \((1;2)\).
B. \([1;2]\).
C. \([1;2)\).
D. \([2; + \infty )\).
Lời giải
Đáp án: C
Ta có: \(\log _2^2(2x) – (m + 2){\log _2}x + m – 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} – (m + 2){\log _2}x + m – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \log _2^2x + 2{\log _2}x + 1 – (m + 2){\log _2}x + m – 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \log _2^2x – m{\log _2}x + m – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\log _2^2x – 1} \right) – m\left( {{{\log }_2}x – 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x + 1} \right) – m\left( {{{\log }_2}x – 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – m + 1} \right) = 0\)
Ta có \({\log _2}x – 1 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x = 1 \Leftrightarrow x = 2 \in [1;2]\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc \([1;2]\) thì phương trình \({\log _2}x – m + 1 = 0\) phải có nghiệm thuộc \([1;2)\)
Với \(x \in [1;2)\) thì \({\log _2}x \in [0;1)\)
\( \Rightarrow 0 \le m – 1 < 1 \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)