[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 43:Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({9^x} – 2(2m + 1) \cdot {3^x} + 3(4m – 1) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mản \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\) thuộc khoảng nào dưới đây?

[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 43:Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({9^x} – 2(2m + 1) \cdot {3^x} + 3(4m – 1) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mản \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\) thuộc khoảng nào dưới đây?

\(\left( {3;9} \right)\).
B. \(\left( {9; + \infty } \right)\).
C. \[\left( {\frac{1}{4};3} \right)\].
D. \(\left( {\frac{{ – 1}}{2};2} \right)\)
Lời giải
Phương trình \[{9^x} – 2(2m + 1) \cdot {3^x} + 3(4m – 1) = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} – 2(2m + 1) \cdot {3^x} + 3(4m – 1) = 0\]
\(\Delta ‘ = {\left( {2m + 1} \right)^2} – 12m + 3 = 4{m^2} – 8m + 4 = 4{\left( {m – 1} \right)^2} \ge 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 2m + 1 + 2\left( {m – 1} \right) = 4m – 1\\{3^x} = 2m + 1 – 2\left( {m – 1} \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}\left( {4m – 1} \right)\\{x_1} = 1\end{array} \right.\]
Để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mản \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\)
Thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left( {1 + 2} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4m – 1} \right) + 2} \right] = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{\log _3}\left( {4m – 1} \right) = 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow 4m – 1 = {3^2} = 9 \Leftrightarrow m = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2}\)
Vậy \(m \in \left( {\frac{1}{4};3} \right)\).