[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 43:Cho phương trình \(\log _3^23x + {\log _3}x + m – 1 = 0\) (với là \(m\) tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \[{\rm{(0 ; 1)}}\] là khoảng nào dưới đây?

[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 43:Cho phương trình \(\log _3^23x + {\log _3}x + m – 1 = 0\) (với là \(m\) tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \[{\rm{(0 ; 1)}}\] là khoảng nào dưới đây?

\(\left( { – \infty ; – \frac{9}{4}} \right)\).
B. \(\left( {\frac{9}{4}; + \infty } \right)\).
C. \(\left( {\frac{{ – 9}}{4};0} \right)\).
D. \(\left( {0;\frac{9}{4}} \right)\)
Lời giải
Từ \(\log _3^23x + {\log _3}x + m – 1 = 0 \Leftrightarrow \log _3^23x + {\log _3}3x + m – 2 = 0\)
Đặt \(t = {\log _3}3x\). Vì \(x \in \left( {0;1} \right)\) nên \(t \in \left( { – \infty ;1} \right)\)
Bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình \({t^2} + t – 2 = – m\) có hai nghiệm nhỏ hơn 1
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t – 2\). Ta có \(f’\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ – 1}}{2}\)
Ta có bảng biến thiên
Vậy để phương trình có hai nghiệm thỏa yêu cầu thì \(\frac{{ – 9}}{4} < - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\).