Đề bài: Giải  và biện luận theo $a, b$ phương trình: $x=a-b(a-bx^2)^2$

Lời giải

Đặt $z = a – b{{\rm{x}}^2}$, ta có$x = a – b{{\rm{z}}^2}$ dẫn tới hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
x = a – b{{\rm{z}}^2}{\rm{       (1)}}\\
z = a – b{{\rm{x}}^2}{\rm{        (2)}}
\end{array} \right.$
Trừ $(1)$ cho $(2)$ vế với vế ta được:
    $z – x = b\left( {{z^2} – {x^2}} \right) = b\left( {z + x} \right)\left( {z – x} \right)$

a) $b = 0 \Rightarrow x = a$

b) $b \ne 0$. Từ $(3)$ ta có:
i) $z – x = 0 \Rightarrow a – b{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow b{{\rm{x}}^2} + x – a = 0$
    $ \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {1 + 4{\rm{a}}b} }}{{2b}}$( với $ab \ge  – \frac{1}{4}$)
ii) $z – x \ne 0 \Rightarrow b\left( {z + x} \right) = 1 \Rightarrow b\left( {a – b{{\rm{x}}^2} + x} \right) = 1$
    $ \Leftrightarrow {b^2}{{\rm{x}}^2} – b{\rm{x}} + 1 – ab = 0$
    $ \Leftrightarrow {x_{3,4}} = \frac{{b \pm \sqrt {{b^2} – 4{b^2}\left( {1 – ab} \right)} }}{{2{b^2}}} = \frac{{1 \pm \sqrt {4{\rm{a}}b – 3} }}{{2b}}$ ( với $ab \ge \frac{3}{4}$)

Tóm lại ta có đáp số :
*   Nếu $b = 0$ thì $x = a$
*   Nếu $b \ne 0$:
–   Với $\frac{3}{4} > ab \ge  – \frac{1}{4}$ thì ${x_{1,2}} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + 4{\rm{a}}b} }}{{2b}}$
–   Với $ab \ge \frac{3}{4}$ thì ${x_{1,2}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {1 + 4{\rm{a}}b} }}{{2b}},{x_{3,4}} = \frac{{1 \pm \sqrt {4{\rm{a}}b – 3} }}{{2b}}$
–   Với $ab

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng