Đề bài:   Giải hệ phương trình: \(\begin{cases}2x+\frac{1}{y}=\frac{3}{x} \\ 2y+\frac{1}{x}=\frac{3}{y} \end{cases}\)

Lời giải

Giải
Điều kiện: \(x,y\neq 0\)
Hệ phương trình đã cho tương đương: \(\begin{cases}2x^2y+x=3y \\ 2y^2x+y=3x \end{cases}\)
Trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được:
   \(2xy(x-y)+x-y=3(y-x)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(2xy+4)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x -y= 0\\2xy+4 = 0\end{array} \right.\)
* Với \(x-y=0 \Leftrightarrow x=y\) thay vào hệ đã cho ta được:
   \( 2y^3-2y=0 \Leftrightarrow 2y(y^2-1)=0\)
   \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0   (L)\\y = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}x =y= 1\\x=y =- 1\end{array} \right.\)
* Với \(2xy+4=0 \Leftrightarrow xy=2\) thay vào hệ đã cho ta được:
  \( \Leftrightarrow  -4x+x=3y\Leftrightarrow  -3x=3y \Leftrightarrow y=-x \Leftrightarrow x(-x)=-2\)
  \(\Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=\sqrt{2} \\ y=-\sqrt{2} \end{cases}\\\begin{cases}x=-\sqrt{2} \\ y=\sqrt{2} \end{cases}\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x =y= 1\\x=y = -1\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x= \sqrt{2}\\ y=-\sqrt{2} \end{cases}\\\begin{cases}x= -\sqrt{2}\\ y= \sqrt{2}\end{cases}\end{array} \right.\)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng