Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AD, BB'$. $I$ là tâm đáy trên của hình lập phương. Đường thẳng qua $I$ song song với $MN$, cắt mp $(AA'D'D)$ tại $K$ . Tìm độ dài $IK$ biết $MN=a$.

Lời giải

  $N$ và $I$ cùng thuộc mp $BB’D’D$ nên $NI$ cắt $DD’$ tại $N’, N’$ và $M$ cùng thuộc mp $AA’D’D$ nên $N’M$ cắt $A’D’$. Trong mp $MNN’$, qua $I$ kẻ đường thẳng $KK’$ song song $MN$. Đường thẳng $KK’$ cắt mp $AA’D’A$ tại $K$ và mp $BCC’B’$ tại $K’$. Nói cách khác do mp $ADD’A’//$ mp $BCC’B’$ (tính chất hình lập phương), bị mp $MNN’$ cắt nên các giao tuyến $MK//NK’\Rightarrow MNK’K$ là hình bình hành:
 $KK’//=MN=a$.
Dễ thấy các tam giác vuông $N’D’I$ và $NB’I$  bằng nhau ($D’I=IB’, \widehat{N’ID’}=\widehat{NIB’}$ do đối đỉnh) $\Rightarrow IN’=IN$. Vậy $I$ là trung điểm $NN’\Rightarrow IK$ là đường trung bình $\Delta MNN’$ nên $IK=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}a$.