Đề bài: Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì chúng đồng quy hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng

Lời giải

Với ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$.Giả sử :
$a\cap b=\left\{ {A} \right\} ,b\cap c=\left\{ {B} \right\} ,c\cap a=\left\{ {C} \right\} $
Xét hai  trường hợp :

*Trường hợp $1:$ Ba điểm $A,B,C$ là ba điểm phân biệt.
Do $a,b,c$ phân biệt nên $A,B,C$ là ba điểm không thẳng hàng.Vậy chúng xác định một mặt phẳng $(ABC)$.Ta có :
– Đường thẳng $a$ có hai điểm $A,C$ thuộc $(ABC)$ nên $a\in(ABC)$
– Tương tự $b\in(ABC)$ và $c\in (ABC)$
Vậy ba đường thẳng $a,b,c$ cùng thuộc một mặt phẳng $(ABC)$

*Trường hợp $2:$
Hai trong ba điểm $A,B,C$ trùng nhau, giả sử $A\equiv  B$
Nếu $a\neq  C$ thì $a\equiv  c$ mâu thuẫn
Do đó, ta phải có :
$A\equiv  C\Leftrightarrow  A\equiv  B\equiv  C\Leftrightarrow  a,b,c$ đồng quy
VẬy ba đường thẳng $a,b,c$ đồng quy

Vậy ba đường thẳng đó phải đồng quy hoặc thuộc cùng một mặt phẳng.