Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, có $SA\bot (ABCD)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và song song $BD$ cắt $SC$ tại $N$, sao cho $SN=2NC$. Xác định thiết diện và chứng minh rằng  thiết diện tạo thành là tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau

Lời giải

Để dựng thiết diện, ta lấy $N$ trên $SC$ sao cho $SN=2NC$.Nối $AN$ cắt $SO$ tại $I$ với $O$ là tâm hình vuông.Kẻ qua $I$ đường thẳng $//BD$ cắt $SB$ và $SD$ tại $B’,D’$ suy ra $AB’ND’$ là thiết diện phải dựng.Ta có $BD\bot SA$ và $BD\bot AO$ suy ra $BD\bot (SOA)$.Mà $B’D’//BD$ nên $B’D’\bot (SOA)$, do đó, $B’D’\bot AN$.Vậy thiết diện tạo thành là tứ giác $AB’ND’$ có hai đường chéo vuông góc nhau