Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng $60^{0}$. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khổi lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC theo a.

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC thì $\widehat{A’MA} $ là góc  giữa (A’BC) và (ABC)
$\widehat{A’MA} = 60^{0}$
Goi H là trọng tâm tam giác ABC thì $\frac{ MG}{MA’}= \frac{ MH}{MA}= \frac{ 1}{3} \Rightarrow GH // AA’ \Rightarrow GH  (ABC)$
Dễ thấy GA=GB=GC: hình chóp GABC là hình chóp tam giác đều.
Tam giác vuông AMA’ cho:
$AA’=AM. \tan 60^{0}=\frac{ a \sqrt{ 3}}{2}. \sqrt{ 3}= \frac{ 3a}{2}$
$\Rightarrow GH= \frac{ a}{2}$
$V_{ABC.A’B’C’}= \frac{ a^{2} \sqrt{ 3}}{4}. \frac{ 3a}{2}= \frac{ 3a^{3} \sqrt{ 3}}{8}(đvtt)$
Trong mặt phẳng (GAH), đường trung trực của AG cắt GH( GH là đường trung trực vòng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, là tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C) tại I: I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
Tam giác vuông AGH cho $AG= \sqrt{ AH^{2}+GH^{2}}= \sqrt{ \frac{ a^{2} }{3}} + \frac{ a^{2} }{4}= \frac{ a \sqrt{ 7}}{2 \sqrt{ 3}}$
AKHI là tứ giác nội tiếp nên:
                 $GK.GA=GH.GI \Leftrightarrow GI= \frac{ GA^{2}}{2GH}= \frac{ \frac{ 7 a^{2} }{12}}{a}= \frac{ 7a}{12}(đvd)$