Đề bài: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a; AA'=b $. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$. Xác định tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A'BD); (MBD)$ vuông góc với nhau

Lời giải

Ta có: $A’B=A’D\Rightarrow A’O \bot BD$.
Lại có $MB=MD \Rightarrow MO \bot BD$
ở đây tâm $O$ là tâm của đáy $ABCD$.
Từ đó $\widehat{A’OM}$ là góc giữa hai mặt phẳng$ (A’BD); (MBD)$
Vì vậy $(A’BD) \bot (MBD)\Leftrightarrow $ $\widehat{A’OM}=90^0\Leftrightarrow A’O^2+OM^2=A’M^2  (1)$
Ta có: $A’O^2=A’B^2-BO^2=a^2+b^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2+\frac{a^2}{2}  (2)$
         $OM^2=MC^2+CO^2=\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{2}  (3)$
           $A’M^2=A’C’^2+C’M^2=2a^2+\frac{b^2}{4}   (4)$
từ $(2),(3),(4)$ suy ra $(1)\Rightarrow \frac{5b^2}{4}+a^2=2a^2+\frac{b^2}{4}\Leftrightarrow a=b $(do $a,b>0$)
Vậy với tỉ số $\frac{a}{b}=1$ thì $(A’BD) \bot (MBD)$.