Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.Gọi $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $SB,SC,SD$$a.$ Chứng minh rằng $BC\bot (SAB),CD\bot (SAD)$$b.$ Chứng minh rằng $(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD$$c.$ Chứng minh rằng $AH,AK$ cùng vuông góc với $SC$. Từ đó suy ra ba đường thẳng $AH,AI,AK$ cùng chứa trong một mặt phẳng.$d.$ Chứng minh rằng $(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $HK$. Từ đó suy ra $HK\bot AI$$e.$ Tính diện tích tứ giác $AHIK$ biết $SA=AB=a$

Lời giải

$a.$ Từ giả thiết :
$SA\bot (ABCD)\Rightarrow  SA\bot BC          (1)$
Mặt khác, ta có :
$AB\bot BC$ vì $ABCD$ là hình vuông      $(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $BC\bot (SAD)$
$b.$ Từ giả thiết :
$SA\bot (ABCD)\Rightarrow  SA\bot BD     (3)$
Mặt khác, ta có :
$AC\bot BD, $ vì $ABCD$ là hình vuông
Từ $(3),(4)$ suy ra :
$BD\bot (SAC)$ tại  trung điểm $O$ của $BD$
Vậy $(SAC)$ là mặt trung trực của đoạn $BD$
$c.$ Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu $a.$ ta được :
$\begin{cases} AH\bot SB\\AH\bot BC\end{cases} \Leftrightarrow  AH\bot (SBC)\Rightarrow  AH\bot SC$
Chứng minh tương tự ta được $AK\bot SC$
Như vậy vì $AH,AI,AK$ cùng vuông góc với $SC$ nên ba đường thẳng $AH,AI,AK$ cùng chưa trong mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$
$d.$ Giả sử $HK$ cắt $AI$ tại $E$
Nhận xét rằng :
$\Delta SAB=\Delta SAD (c.g.c)\Rightarrow  SH\bot SK$
Trong $\Delta SBD$ ta có :
$\frac{SH}{SB}=\frac{SK}{SD}\Rightarrow  HK//BD  $ và $E$ là trung điểm của $HK$
Kết hợp với kết quả câu $a.$ suy ra :
$HK\bot (SAc)$ tại trung điểm $E$ của $HK$
Vậy $(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $HK$
Từ kết quả $HK\bot (SAC)$ suy ra $HK\bot AI$
$e.$ Ta có :
$S_{AHIK}=\frac{1}{2} AI.HK       (5)$ trong đó :
– Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta được :
$\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{a^2}    +\frac{1}{2a^2} \Rightarrow  AI=\frac{a\sqrt{6} }{3}        (6)$
– Trong $\Delta SBD$ ta được :
$\frac{SH}{SB} =\frac{SK}{SD}=\frac{1}{2}  \Rightarrow  HK$ là đường trung bình $\Rightarrow  HK=\frac{a\sqrt{2} }{2}         (7)$
Thay $(6),(7)$ vào $(5) $ ta được
$S_{AIHK}=\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{6} }{3} .\frac{a\sqrt{2} }{b} =\frac{a^2\sqrt{3} }{6} $