Lời giải
Giải
Hệ đã cho tương đương với hệ: \(\begin{cases}x+xy+y=m+2 \\ x^2+y^2x=m+1 \end{cases} (1)\)
Đặt \(S=x+y, P=xy\). Điều kiện: \(S^2-4P\geq0\)
Khi đó hệ \((1)\) tương đương \(\Leftrightarrow \begin{cases}S+P=m+2 \\ SP=m+1 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow S,P\) là nghiệm của hệ phương trình bậc hai:
\(X^2-(m+2)X+m+1=0\)
\( \Delta’= (m+2)^2-4(m+1)=m^2+4m+4-4m-4=m^2\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = \frac{m+2+m}{2}\\X = \frac{m+2-m}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+y=1 \\ xy=m \end{cases}\\\begin{cases}x+y=m \\ xy=1 \end{cases}\end{array} \right. (2)\)
a) Khi \(m=-3\), ta có:
\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+y=1 \\ xy=-3 \end{cases}\\\begin{cases}x+y=-3 \\ xy=1 \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=1-y \\ (1-y)y=-3 \end{cases}\\\begin{cases}x=-3-y \\ (-3-y)y=1 \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=1-y \\ y^2-y-3=0 \end{cases}\\\begin{cases}x=-3-y \\ y^2+3y+1=0 \end{cases}\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}x =\frac{1\pm \sqrt{13}}{2},y=\frac{1\mp \sqrt{13}}{2}\\x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2},y=\frac{-3\mp \sqrt{5}}{2}\end{array} \right.\)
b) Trong trường hợp tổng quát:
\((2)\Leftrightarrow x,y\) là nghiệm của phương trình: \(X^2-X+m=0 (*)\) hoặc \(x,y\) là nghiệm của phương trình: \(X^2-mX+1=0 (**)\)
Do đó hệ đã cho sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}(*): \Delta_1=1-4m=0 \\ (**):\Delta_2=m^2-4 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \(m=2, m=\frac{1}{4}\)
=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng
Trả lời