Đề: a)Chứng tỏ rằng nếu $y=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} ) $ thì $y'=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} } $b)Sau đó tính : $I=\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx ; \forall a>0 $

Đề bài: a)Chứng tỏ rằng nếu $y=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} ) $ thì $y'=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} } $b)Sau đó tính : $I=\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx ; \forall a>0 $

Lời giải

a)Xét : $y=f(x)=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} )$
$y’=\frac{(x+{\sqrt{x^2+a^2}} )’}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }=\frac{1}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }(1+\frac{x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } )  $
      $=\frac{1}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }(\frac{{\sqrt{x^2+a^2}} +x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } )=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} }  (đpcm)$
b)Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u={\sqrt{x^2+a^2}}  \Rightarrow  du=\frac{x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } \\ dv=dx \Rightarrow  v=x \end{array} \right. $
$\Rightarrow  I=x{\sqrt{x^2+a^2}} |^a_0-\int\limits_{0}^{1}\frac{x^2dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} }=a^2 {\sqrt{2}}-\int\limits_{0}^{a}\frac{x^2+a^2-a^2dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} }     $
$=a^2 {\sqrt{2}}-\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx+a^2 \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} }    $
$\Rightarrow  I=a^2 {\sqrt{2}}-I+[a^2\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} )]^a_0 $ do câu a
$\Rightarrow  2I=a^2 {\sqrt{2}}+a^2 [\ln (a+a {\sqrt{2}} )-\ln a] (a>0)$
$\Rightarrow  I=\frac{a^2 {\sqrt{2}} }{2}+\frac{a^2[\ln (1+ {\sqrt{2}} )]}{2}  (ycbt)$