Đề bài: 1) Cho $f(x) = (x – a).\varphi (x)$ với $\varphi (x)$ liên tục. Tính $f'(a)$.2) Cho $f(x) = | {x – a} |.\varphi (x)$ với $\varphi (x)$ liên tục. Chứng minh nếu $\varphi (a) \ne 0$ thì $f’(a)$ không tồn tại. Có thể nói gì nếu $\varphi (a) = 0$
Lời giải
1) $f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(x – a).\varphi (x) – 0}}{{x – a}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \varphi (x) = \varphi (a)$ (do $\varphi (x)$ liên tục)
2) $f'({a^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{\left| {x – a} \right|.\varphi (x) – 0}}{{x – a}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \varphi (x) = \varphi (a)$
$f'({a^ – }) = … = – \varphi (a)$
• Do $\varphi ‘(a) \ne 0$ nên $f'({a^ + }) \ne f'({a^ – }) \Rightarrow f'(a)$ không tồn tại.
• Nếu $\varphi (a) = 0$ thì $f'({a^ + }) = f'({a^ – }) \Rightarrow f'(a) = 0$
Trả lời