(Đại học Hồng Đức – 2022) Cho \(x\) là số nguyên dương và \(y\) là số thự

C. Có tất cả bao nhiêu cặp số \((x;y)\) thỏa mãn \(\ln (1 + x + 2y) = 2y + 3x – 10?\)\(\)

A. \(10.\)

B. Vô số.

C. 11.

D. 9.

Lời giải:.

Điều kiện: \(1 + x + 2y > 0 \Leftrightarrow y > – \frac{{x + 1}}{2}\).

Ta luôn chứng minh được \({e^x} \ge x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

Xét hàm số \(y = g(x) = {e^x} – x – 1 \Rightarrow g\prime (x) = {e^x} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên:

Suy ra \(g(x) \ge 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {e^x} \ge x + 1\forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(\ln (1 + x + 2y) = 2y + 3x – 10 \Leftrightarrow 1 + x + 2y = {e^{2y + 3x – 10}} \ge (2y + 3x – 10) + 1 \Leftrightarrow x \le 5\).

Do \(x \in {\mathbb{N}^*}\), nên \(x \in \{ 1;2;3;4;5\} \).

Lại có: \(\ln (1 + x + 2y) = 2y + 3x – 10 \Leftrightarrow \ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow f(y) = 0\).

Xét hàm số \(f(y) = \ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10\) trên khoảng \(\left( { – \frac{{x + 1}}{2}; + \infty } \right)\)

Suy ra \(f\prime (y) = \frac{2}{{1 + x + 2y}} – 2;f\prime (y) = 0 \Leftrightarrow y = – \frac{x}{2} \in \left( { – \frac{{x + 1}}{2}; + \infty } \right)\)

Bảng biến thiên của hàm số \(f(y) = \ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10\).

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:

Với một giá trị \(x \in \{ 1;2;3;4\} \), phương trình \(\ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10 = 0\) theo ẩn \(y\) có 2 nghiệm phân biệt. Với \(x = 5\) phương trình \(\ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10\) theo ẩn \(y\) có 1 nghiệm.

Vậy có 9 nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn bài toán.