(Đại học Hồng Đức – 2022) Cho số phức \(z\) thoả mãn \(iz.\bar z + (1 + 2i)z – (1 – 2i)\bar z – 4i = 0\). Giá trị lớn nhất của\(\)\(P = \left| {z + 1 + 2{\rm{ }}i} \right| + \left| {z + 4 – i} \right|\)gần số nào nhất sau đây?

Câu hỏi:

A. 7,4.

B. 4,6.

C. 4,2.

D. 7,7.

Lời giải:.

Giả sử \(z = x + yi,(x,y \in \mathbb{R})\). Ta có

\(\begin{array}{l}iz.\bar z + (1 + 2i)z – (1 – 2i)\bar z – 4i = 0 \Leftrightarrow i(x + yi)(x – yi) + (1 + 2i)(x + yi) – (1 – 2i)(x – yi) – 4i = 0\\ \Leftrightarrow i\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + (x – 2y) + (2x + y)i – (x – 2y) – ( – 2x – y)i – 4i = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x + 2y – 4 = 0.\end{array}\)\(\)

Suy ra, tập hợp các số phức \(z\) có điểm biểu diễn thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I( – 2; – 1)\), bán kính \(R = 3\).

Lại có

\(\begin{array}{l}P = |z + 1 + 2i| + |z + 4 – i| = |(x + 1) + (y + 2)i| + |(x + 4) + (y – 1)i|\\ = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 5} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 8x – 2y + 17} \end{array}\)\(\)

Kết hợp với (2) ta được \(P = \sqrt {9 – 2(x – y)} + \sqrt {21 + 4(x – y)} \).

Đặt \(t = x – y\) thì \(P = f(t) = \sqrt {9 – 2t} + \sqrt {21 + 4t} \) với \(t \in \left[ { – \frac{{21}}{4};\frac{9}{2}} \right]\).

Khảo sát hàm số \(f(t)\) hoăc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta được

\(P = \sqrt {9 – 2t} + \sqrt {2\left( {\frac{{21}}{2} + 2t} \right)} \le \sqrt {(1 + 2)\left( {9 + \frac{{21}}{2}} \right)} = \frac{{3\sqrt {26} }}{2} \approx 7,65.\)\(\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t = \frac{5}{4}\), từ đó có thể tính được \(z = \frac{{ – 7 \pm \sqrt {217} }}{8} + i\frac{{ – 17 \pm \sqrt {217} }}{8}\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức