(Đại học Hồng Đức 2022) Cho hàm đa thức \(y = \left[ {f\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right]\prime \) có đồ thị cắt trục \(Ox\) tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) với \(2022m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} – 2|x – 1| – 2x + m} \right)\) có 9 điểm cực trị?
A. 2020.
B. 2023.
C.\(2021.\)
D. 2022.
Lời giải:.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right]\prime = (2x + 2)f\prime \left( {{x^2} + 2x} \right) = a(x + 3)(x + 2)(x + 1)(x)(x – 1)\quad (a > 0)\\ \Rightarrow f\prime \left( {{x^2} + 2x} \right) = \frac{a}{2}(x + 3)(x + 2)x(x – 1) = \frac{a}{2}\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right).\end{array}\)\(\)
Đặt \(t = {x^2} + 2x \Rightarrow f\prime (t) = \frac{a}{2}(t – 3)t\).
Ta có \(g(x) = f\left( {{x^2} – 2|x – 1| – 2x + m} \right) = f\left( {|x – 1{|^2} – 2|x – 1| + m – 1} \right)\).
Ta thấy \(g(2 – x) = g(x),\forall x \in \mathbb{R}\) nên đồ thị hàm số \(y = g(x)\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng. Do đó số điểm cực trị của hàm số \(g(x)\) bằng \(2a + 1\) với \(a\) là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số \(g(x)\). Theo bài ra ta có \(2a + 1 = 9 \Leftrightarrow a = 4\). Vi vậy ta cần tìm \(m\) để hàm số \(g(x)\) có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.
Khi \(x > 1\) thì \(g(x) = f\left( {{x^2} – 4x + m + 2} \right)\).
\(g\prime (x) = (2x – 4)f\prime \left( {{x^2} – 4x + m + 2} \right),g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} – 4x + m + 2 = 0(1).}\\{{x^2} – 4x + m + 2 = 3{\rm{ (2) }}}\end{array}} \right.\)
Đặt \(u(x) = {x^2} – 4x + m + 2\), ta có bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để 2 phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(m – 2 < 0 < m – 1 \Leftrightarrow 1 < m < 2,\)\(\)
suy ra \(2022 < 2022m < 4044 \Rightarrow 2022m \in \{ 2023;2024; \ldots ;4043\} ,\)\(\)
do đó có 2021 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Trả lời